《孙子算经》是中国古代重要的数学著作。成书大约在四、五世纪,也就是大约一千五百年前,作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法,卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题,可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算”。书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔? 此题被义务教育课程标准实验教科书人教版数学五年级上册选为补充教材并且在部分五~六年级的课外习题所用。

简介

具有重大意义的是卷下第26题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰:‘二十三’”。《孙子算经》不但提供了答案,而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作,推广“物不知数”的问题。德国数学家高斯[K.F. Gauss.公元1777-1855年]于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。公元1852年,英国基督教士伟烈亚士[Alexander Wylie公元1815-1887年]将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲,公元1874年马蒂生[L.Mathiesen]指出孙子的解法符合高斯的定理,从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国的剩余定理”[Chinese remainder theorem]。另外还有一道,曰:“巍巍古寺在山林,不知寺内几多僧。三百六十四只碗,看看用尽不差争。三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹。请问先生明算者,算来寺内几多僧。”

内容介绍

原序

孙子曰:夫算者:天地之经纬,群生之园首,五常之本末,阴阳之父母,星辰之建号,三光之表里,五行之准平,四时之终始,万物之祖宗,六艺之纲记。稽群伦之聚散,考二气之降升,推寒暑之迭运,步远近之殊同,观天道精微之兆基,察地理从横之长短,采神祇之所在,极成败之符验。穷道德之理,究性命之情。立规矩,准方圆,谨法度,约尺丈,立权衡,平重轻,剖毫厘,析泰絫。历亿载而不朽,施八极而无疆。散之者,富有余;背之者,贫且寠。心开者,幼冲而即悟;意闭者,皓首而难精。夫欲学之者,必务量能揆己,志在所专,如是,则焉有不成者哉!

上卷

详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法。筹算在春秋战国时代已经运用,但在古代中国数学著作如算数书、九章算术等书中都不曾记载算筹的使用方法;孙子算经第一次详细地记述筹算的布算规则:“凡算之法,先识其位,一纵十横,百立千僵,千十相望,百万相当”,此外又说明用空位表示零。

在进行乘法时,“凡乘之法:重置其位,上下相观,头位有十步,至十有百步,至百有千步,至千以上 命下所得之数列于中。言十即过,不满,自如头位。乘讫者,先去之下位;乘讫者,则俱 退之。六不积,五不只。上下相乘,至尽则已。”。《孙子算经》明确说明“先识其位”的位值概念,和“逢十进一”的十进位制。

除法法则:“凡除之法:与乘正异乘得在中央,除得在上方,假令六为法,百为实,以六除百,当进之二等,令在正百下。以六除一,则法多而实少,不可除,故当退就十位,以法除实,言一六而折百为四十,故可除。若实多法少,自当百之,不当复退,故或步法十者,置于十百位(头位有空绝者,法退二位。余法皆如乘时,实有余者,以法命之,以法为母, 实余为子。”

中卷

主要是关于分数的应用题,包括面积、体积、等比数列等计算题,大致都在《九章》中论述的范围之内;

下卷

对后世的影响最为深远,如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题,后传至日本,被改为“鹤龟算”。

今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问:雉、兔各几何?答曰:雉二十 三,兔一十二。

术曰:上置三十五头,下置九十四足。半其足,得四十七,以少减多,再命之,上三 除下三,上五除下五,下有一除上一,下有二除上二,即得。又术曰:上置头,下置足,半其足,以头除足,以足除头,即得。

下卷第28题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源,被看作是中国数学史上最有创造性地成就之一,称为中国余数定理:今有物,不知其数。三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二。问:物几 何?答曰:二十三。

术曰:三三数之,剩二,置一百四十;五五数之,剩三,置六十三;七七数之,剩二 ,置三十。并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之,剩一,则置七十 ;五五数之,剩一,则置二十一;七七数之,剩一,则置十五。一百六以上,以一百五 减之,即得。

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