《周髀算经》原名《周髀》,算经的十书之一,是中国最古老的天文学和数学著作,约成书于公元前1世纪,主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》。

《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理。(据说原书没有对勾股定理进行证明,其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的)及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。)

《周髀算经》的采用最简便可行的方法确定天文历法,揭示日月星辰的运行规律,囊括四季更替,气候变化,包涵南北有极,昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障,自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考,在此基础上不断创新和发展。

年代

假设我们把《周髀算经》的本文限定为商高与周公的问答,似乎其成书年代也就不难断定了。可是,乾嘉以后,考据之学兴起,疑古之风日盛,到了现代,几乎所有的中外学者都不得不接受这样的推断:不仅商高是后人假托的,甚至陈子也是后人虚构出来的。于是,仅仅把商高问答看作《周髀算经》本文就不再有任何意义了。因此,许多学者都将陈子问答以后的文字作为《周髀算经》全文的一个部分,不再加以区分。 如此一来,人们开始根据《周髀算经》中的内容推断它的成书年代。

通常的方法可以分成两类:天文学史专家,喜欢利用现代天文学手段,根据《周髀算经》中记录的一些特殊的天文现象或数据,推算其应该出现的年代,并以此来确定其成书时代。例如,日本学者能田忠亮便以《周髀算经》中的北极星(北极璇玑)到北天极的距离,归算出其成书年代大约在公元前5到7世纪之间。

另一种方法则是根据《周髀算经》涉及的一些内容,与相对而言年代比较明确的其他历史典籍的比较,推断其成书年代。钱宝琮(1892-1974)在《周髀算经考》中对《周髀算经》的年代做出如下的考证:第一,《周髀算经》主要分为两个部分,前为商高问答,后为陈子模型;第二,由于怀疑商高是后人的伪托,因此,认为陈子以下的文字才是《周髀算经》的主体,通过与《淮南子·天文训》的比较,从六个方面论述了陈子以下的文字成书在公元前100年左右;第三,“周髀”的意思以陈子之说为准,同时也提到其他一些解释;第四,比较24气名目及次序与《三统历》之异同,提到赵爽注称原节气长度15日与《淮南子》的粗略记法类似;第五,分数算法的繁复与《九章算术》类似。他的结论是,《周髀算经》成书在公元前100年左右。 在疑古思潮的影响下,还有一种倾向也值得人们的注意,那就是以《周髀算经》全书中所有内容的下限来判定它的成书年代,古克礼(C.Cullen)大约可以算是这个方面的一个代表。

古克礼认为以前的学者大多错误地企图去发现《周髀算经》作为一个整体完成的年代,因此,它们的结论是在一种假象的幻觉中获得的。他认为,这部书是一些志同道合的研究者分别撰述的论文集。他的做法是,首先,调查《周髀算经》的内在结构,并将其划分为不同的章节,讨论节与节之间的关系;其次,讨论与各节内容有关的外部世界的资料与活动;第三,探讨可能产生与各节内容相关的历史环境。他将《周髀算经》的整体编排打乱,把它们划分为外篇与内篇两个部分。其中内篇以陈子模型为主展开,取其下限在公元1世纪。

在有关外部环境的讨论中,指出作为皇家的藏书目录,班固(32-92)编写的《汉书·艺文志》中有《许商算术》与《杜忠算术》而无《周髀算经》;盖天说在公元l世纪已经为人所熟知,蔡邕在公元180年已经明确将其列为中圈古代的三家宇宙论之一。结论是,由于受到了浑天说的影响,《周髀算经》的成书时间不可能早于公元前l世纪,但也不会晚于公元200年。 笔者以为,判别中国古代科学典籍的完成年代,应该以书中主要的科学思想或知识水平所反映的年代为判别标准,而不应以书中夹杂的若干后代掺入的只言片语作为推断的条件。由于早期的科学典籍通常都是人类知识逐渐积累的结晶,因此,搞清楚其中科学思想的萌生时期与流传脉络,也许比单纯判定它的成书年代更有意义。

科学史已经反复地证明,今天看来是非常显然的科学真理,在人类认识它的初期往往经历了长期的怀疑,甚至抵制。例如,岁差现象在南北朝时期的存废之争,就是一个典型的事例。因此,试图通过以《周髀算经》中的内容的完整或正确性介于某两个古代文献之间,就认定其成书年代也必定介于两者之间的方法,是靠不住的。而利用一些重要数据的理论推算来判定其成书年代的方法,许多时候也是不太可行的。有关《周髀算经》成书年代的讨论,冯礼贵曾经收集了14种不同的观点。尽管在《周髀算经》成书年代的判断上有很大的区别,但几乎所有的研究者都有一个共识,那就是《周髀算经》并不是成书于一人一时,它经过了许多朝代的流传进化才得以完成目前我们所看到的篇幅与结构。

《周髀算经》的第一部分商高问答,曾经作为《周髀算经》独立的本文,其完成时间应该是在西周初期,约公元前11世纪。陈子问答中的数学理论与宇宙模型完成的时间,大约在公元前4、5世纪。作为一部阐释盖天说理论的数理天文学著作,《周髀算经》从上卷之三开始,是对陈子模型的完善和扩充,其中的一些基本数据与结构,如七衡图与去极度等,应该是在陈子模型提出后就已经确定了的,但是,陈子假设的平行平面的天地模型,则得到了一定的修正,并且加入了一些新的东西,如寒暑成因与历法等内容,总而言之,《周髀算经》第三部分的成型,按照钱宝琮与刘朝阳的考证,应该不会晚于公元前100年。

勾股定理

首先,《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日。”(《周髀算经》上卷二)

而勾股定理的证明呢,就在《周髀算经》上卷一——

昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”

商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。”

周公对古代伏羲(庖牺)构造周天历度的事迹感到不可思议(天不可阶而升,地不可得尺寸而度),就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例,解释数学知识的由来。“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。”解释发展脉络——数之法出于圆(圆周率三)方(四方),圆出于方(圆形面积=外接正方形面积*圆周率/4),方出于矩(正方形源自两边相等的矩),矩出于九九八十一(长乘宽面积计算依自九九乘法表)。

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