清史稿/卷506

清史稿
畴人一

推步之学,由疏渐密。泰西新法,晚明始入中国,至清而中、西荟萃,遂集大成。圣祖聪明天亶,研究历算,妙契精微。一时承学之士,蒸蒸乡化,肩背相望。二百年来,推步之学,日臻邃密,匪特辟古学之榛芜,抑且补西人之罅漏。嘉庆初,阮元撰畴人传,后学一再续之,唐、宋以来,于斯为盛。今甄其卓然名家者著于篇,其政事、文学登于列传及儒林、文苑者;西人官钦天监,厕于卿贰,各自有传者:不具列焉。

薛凤祚

薛凤祚,字仪甫,淄川人。少习算,从魏文魁游,主持旧法。顺治中,与法人穆尼阁谈算,始改从西学,尽传其术,因着算学会通正集十二卷,考验二十八卷,致用十六卷。其曰对数比例者,乃西算以假数求真数之便法也;曰中法四线,以西法六十分为度,不便以十进位,改从古法,以百分为度,所列止正弦、馀弦、正切、馀切,故曰四线。其推步诸书:曰太阳太阴诸行法原,曰木火土三星经行法原,曰交食法原,曰历年甲子,曰求岁实,曰五星高行,曰交食表,曰经星中星,曰西域回回术,曰西域表,曰今西法选要,曰今法表,皆会中、西以立法。以顺治十二年乙未天正冬至为元,诸应皆从以起算。以三百六十五日二十三刻三分五十七秒五微为岁实,黄、赤道交度有加减,恒星岁行五十二秒,与天步真原法同。梅文鼎谓其书详于法,而无快论以发其趣,盖其时新法初行,中、西文字辗转相通,故词旨未能尽畅。然贯通其中、西,要不愧为一代畴人之功首云。

凤祚定岁实秒数为五十七,与奈端合,与穆尼阁以为四十五秒者不同,则其学非墨守穆氏可知。或讥其谨守穆尼阁成法,依数推衍,非笃论也。

杜知耕

杜知耕,字端甫,号伯瞿,柘城举人。精研几何,以利玛窦、徐光启所译几何原本复加删削,作几何论约七卷,后附十条,则知耕所作也。言其法似为本书所无,其理实涵各题之内,非能于本书之外别生新义也。称后附者,以​​别于丁氏、利氏之增题也。又杂取诸家算学,参以西人之说,依古九章为目,作《数学钥》六卷。言数非图不明,图非指不明,图中用甲乙等字作志者,代指也,故其书于图解尤详。梅文鼎称其图注九章,颇中肯綮云。

龚士燕

龚士燕,字武任,武进人。少颖异能文,讲求性理,旁通算术,发明蔡氏律吕新书,推演黄锺圜径、开方密率诸法,而于元太史郭守敬授时术尤得其秘。如求冬​​至时刻,上推百年加一算,以为岁周三百六十五日二十四刻二十五分之内,满百年消长一分。核之春秋日食三十七事,多与符合。又如推晦、朔、弦、望,以太阳之盈与太阴之迟,以太阴之疾与太阳之缩皆相并,为同名相从;以太阳之盈与太阴之疾,以太阴之迟与太阳之缩皆相减,为异名相消:乃得盈缩迟疾化为加减时刻之差。以此加减朔望之大、小馀分,得定朔弦望诸时刻。至盈、缩、迟、疾,郭守敬创平、立、定三差,理隐数繁,能审其机括,绘图以明之。

又如赤道变黄道之法,谓在二至后者,以度率一零八六五除赤道积度变为黄道宿度;在二分后者,以度率一零八六五乘赤道积度变为黄道宿度。凡此授时之术,引伸益明。其馀月离五星等法,与回回、西洋诸算,遇有疑难,无不洞悉。至日、月体径有大小,交食限数有浅深,具见其奥。且悟唐顺之弧容直阔之法,以推求太阴出入黄道,在内在外,不离乎六度。自是一应七政、气朔、交食诸端,按法而推,百不失一。

康熙六年,诏募天下知算之士,于是入都。其时钦天监用大统算七政多不合天,奉旨在观像台每日测验,而金星比算差至十度。因修改古法,乃据七年所测表景推测太盈缩,又据日测五星行度,考其迟疾。彼此推求加减,气、闰、转、交诸应,测验皆与天合。盖其法亦本郭守敬,太阳为气应,推冬至日躔用之;太阴周天为转应,朔望用之;日月地球之运,同在一直线,视点上为交应,推日月食用之;合气盈、朔虚之奇零为闰应,推闰月用之;此外又有金、木、水、火、土同聚一宿为合应,推五星用之。

修改诸应,取顺治元年甲申为元,以应世祖章皇帝抚有中夏之祥,钦天监名为“改应法”。既改气、闰、转、交诸应,复改迟、疾限及求差诸法,又改冬至黄道日出分依步中星内法。又盈缩迟疾无积度,日食无时差,皆与天合。台官交章保荐。八年,历书告成,奏对武英殿,授历科博士。时有荐西人南怀仁等于朝,及其实测诸术,验且捷,遂定用西法,而古历卒不行。

十年,以疾归,著有像纬考一卷、历言大略一卷。其天体论一卷及暗虚、中星、交食、定朔、五星诸论俱佚。

王锡阐

王锡阐,字晓庵,吴江人。兼通中、西之学,自立新法,用以测日、月食不爽秒忽。每遇天晴霁,辄登屋卧鸱吻察星象,竟夕不寐。著晓庵新法六卷,序曰;“炎帝八节,历之始也,而其书不传。黄帝、虞、夏、殷、周、鲁七历,先儒谓系伪作。今七历俱存,大指与汉历相似,而章蔀气朔,未睹其真,为汉人所托无疑。太初、三统,法虽疏远,而创始之功,不可泯也。刘洪、姜岌,次第阐明,何、祖专力表、圭,益称精切。自此南、北历象,率能好学深思,多所推论,皆非浅近所及。唐历大衍稍密,然开元甲子当食不食,一行乃为谀词以自解,何如因差以求合乎?”

又曰:“明初元统造大统历,因郭守敬遗法,增损不及百一,岂以守敬之术果能度越前人乎?守敬治历,首重测日,余尝取其表景,反复布算,前后抵牾。馀所创改,多非密率。在当日已有失食失推​​之咎,况乎遗籍散亡,法意无征。兼之年远数盈,违天渐远,安可因循不变耶?元氏艺不逮郭,在廷诸臣,又不逮元,卒使昭代大典,踵陋袭伪。虽有李德芳苦争之,然德芳不能推理,而株守陈言,无以相胜,诚可叹也!”

又曰:“万历季年,西人利氏来华,颇工历算。崇祯初,命礼臣徐光启译其书,有历指为法原,历表为法数,书百馀卷,数年而成,遂盛行于世。言历者莫不奉为俎豆。吾谓西历善矣,然以为测候精详可也,以为深知法意未可也。循其理而求通,可也;安其误而不辨,不可也。姑举其概:二分者,春、秋平气之​​中;二至者,日道南、北之中也。大统以平气授人时,以盈缩定日躔。西人既用定气,则分、正为一,因讥中历节气差至二日。夫中历岁差数强,盈缩过多,恶得无差?然二日之异,乃分、正殊科,非不知日行之朓朒而致误也。历指直以怫己而讥之,不知法意一也。诸家造历,必有积年日法,多寡任意,牵合由人。守敬去积年而起自辛巳,屏日法而断以万分,识诚卓也。西历命日之时以二十四,命时之分以六十,通计一日为分一千四百四十,是复用日法矣。至于刻法,彼所无也。近始每时四分之,为一日之刻九十六。彼先求度而后日,尚未觉其繁,施之中历则窒矣。乃执西法反谓中历百刻不适于用,何也?且日食时差法之九十有六,与日刻之九十六何与乎?而援以为据,不知法意二也。天体浑沦,初无度分可指,昔人因一日日躔命为一度,日有疾徐,断以平行,数本顺天,不可损益。西人去周天五度有奇,敛为三百六十,不过取便割圜,岂真天道固然?而党同伐异,必曰日度为非,讵知三百六十尚非天真有此度数乎?不知法意三也。上古置闰,忄互于岁终,盖历术疏阔,计岁以置闰也。中古法日趋密,始计月以置闰,而闰于积终,故举中气以定月,而月无中气者即为闰。大统专用平气,置闰必得其月,新法改用定气,致一月有两中气之时,一岁有两可闰之月,若辛丑西历者,不亦盭乎!夫月无平中气者,乃为积馀之终,无定中气者,非其月也。不能虚衷深考,而以卤莽之习,侈支离之学,是以归馀之后,气尚在晦;季冬中气,已入仲冬;首春中气,将归腊杪。不得已而退朔一日以塞人望,亦见其技之穷矣,不知法意四也。天正日躔,本起子半,后因岁差,自丑及寅。若夫合神之说,乃星命家猥言,明理者所不道。西人自命历宗,何至反为所惑,谓天正日躔定起丑初乎?况十二次命名,悉依星象,如随节气递迁,虽子午不妨异地,岂玄枵、鸟咮亦无定位耶?不知法意五也。岁实消长,昉于统天,郭氏用之,而未知所以当用;元氏去之,而未知所以当去。西人知以日行最高求之。而未知以二道远近求之,得其一而遗其一。当辨者一也。岁差不齐,必缘天运缓疾,今欲归之偶差,岂前此诸家皆妄作乎?黄、白异距,生交行之进退;黄、赤异距,生岁差之屈伸;其理一也。历指已明于月,何蔽于日?当辨者二也。日躔盈缩最高,斡运古今不同,揆之臆见,必有定数。不惟日月星应同,但行迟差微,非毕生岁月所可测度耳。西人每诩数千年传人不乏,何以亦无定论?当辨者三也。日月去人时分远近,儿径因分大小,则远近大小,宜为相似之比例。西法日则远近差多,而儿径差少;月则远近差少,而儿径差多。因数求理,难会其通。当辨者四也。日食变差,机在交分,日轨交分,与月高交分不同;月高交于本道,与交于黄道者又不同。历指不详其理,历表不著其数,岂黄道一术足穷日食之变乎?当辨者五也。中限左右,日月儿差,时或一东一西。交、广以南,日月儿差,时或一南一北。此为儿差异向与儿差同向者加减迥别,历指岂以非所常遇,故置不讲耶?万一遇之,则学者何以立算?当辨者六也。日光射物,必有虚景,虚景者,光径与实径之所生也。暗虚恒缩,理不出此。西人不知日有光径,仅以实径求暗虚。及至推步不符,复酌损径分以希偶合。当辨者七也。月食定望,惟食甚为然,亏复四限,距望有差。日食稍离中限,即食甚已非定朔。至于亏复,相去尤远。西历乃言交食必在朔、望,不用朓朒次差。当辨者八也。”

又曰:“语云:’步历甚难,辨历甚易。’盖言象纬森罗,得失无所遁也。据彼所说,亦未尝自信无差。五星经度,或失二十馀分,躔离表验,或失数分,交食值此,所失当以刻计;凌犯值此,所失当以日计矣。故立法不久,违错颇多,馀于历说已辨一二。乃癸卯七月望食当既不既,与夫失食失推者何异乎?且译书之初,本言取西历之材质,归大统之型范,不谓尽隳成宪,而专用西法,如今日者也。馀故兼采中、西,去其疵类,参以己意,著历法六篇,会通若干事,改正若干事,表明若干事,增辑若干事,立法若干事。旧法虽舛,而未遽废者,两存之;理虽可知,而上下千年不得其数者,缺之;虽得其数,而远引古测,未经目信者,别见补遗,而正文仍袭其故。为日一百几十有几,为文万有千言,非敢妄云窥其堂奥,庶几初学之津梁也。”

其法:度法百分,日法百刻,周天三百六十五度二十五分六十五秒五十九微三十二纤,内外准分三十九分九十一秒四十九微,次准九十一分六十八秒八十六微,黄道岁差一分四十三秒七十三微二十六纤。列宿经纬:角一十度七十三分七十九秒,南二度一分二十三秒,亢一十度八十二分二十四秒,北三度一分一秒,氐一十八度一十六分一十四秒,北四十三分九十六秒,房四度八十三分六十三秒,南五度四十六分一十九秒,心七度六十六分二秒,南三度九十​​七分三十八秒,尾一十五度八十二分七十八秒,南一十五度二十一分九十秒,箕九度四十六分九十六秒,南六度五十九分四十九秒,南斗二十四度一十九分八十二秒,南三度八十八分九十三秒,牵牛七度七十九分五十五秒,北四度七十五分一十七秒,婺女一十一度八十二分二秒,北八度二十分五十九秒,虚一十度一十二分九十一秒,北八度八十二分七十秒,危二十度四十一分四秒,北一十度八十五分六十二秒,营室一十五度九十二分二十秒,北一十度七十一分七十一秒。

先是晓庵新法未成,作历说六篇,历策一篇,其说精核,与新法互有详略。又隐括中、西步术,作大统西历启蒙。丁未岁,因推步大统法作丁未历稿。辛酉八月朔日食,以中、西法及己法豫定时刻分秒,至期,与徐发等以五家法同测,己法独合,作推步交朔测小记。又以治历首重割圜,作圜解。测天当据仪晷,造三晷,兼测日、月、星,因作三辰晷志。俱能究术数之微奥,补西人所不逮。与同时青州薛凤祚齐名,称“南王北薛”云。历策有云:“每遇交会,必以所步、所测课较疏密,疾病寒暑无间,变周、改应、增损、经纬、迟疾诸率,于兹三十年所。”亦可以想见作者实测之诣力矣。

潘柽樟

潘柽樟,字力田。与王锡阐同邑友善。锡阐尝馆其家,讲论算法,常穷日夜。柽樟著辛丑历辨曰:“昔尧命羲和,曰以闰月定四时成岁,盖历法首重置闰。而春秋传曰:’先王之正时也,履端于始,举正于中,归馀于终。’所谓始者,取气朔分齐为历元也;所谓中者,月以中气为定,无中气者则为闰也;所谓终者,积气盈、朔虚之数而闰生焉也。自汉以降,历术虽屡变,未有能易此者。唯西域诸历则不然,其法有闰年、有闰日,而无闰月。盖中历主日,而西历主度,不可强同也。今之为西历者,乃以日躔求定气、求闰月,不惟尽废中国之成宪,而亦自悖西域之本法矣。故十馀年来,宫度既紊,气序亦讹。如戊子之闰三月也,而置在四月;庚寅之闰十一月也,而置在明年之二月;癸巳之闰七月也,而置在六月;己亥之闰正月也,而置在三月。其为舛误,何可胜言!然非深于历者,未易指摘。至于辛丑之闰月,则其失显然无以自解矣。何也?闰法论平气而不当论定气,若以平气,则是年小雪在十月晦,冬至在十一月朔,而闰在两月之间。所谓闰前之月中气在晦,闰后之月中气在朔者也。今以定气,则秋分居九月朔,故预于七月朔置闰,然后秋分仍在八月,而霜降、小雪各归其月。无如大寒定气乃在十一月朔,而十二月又无中气,既不可再置一闰,则是同一无中气之月,而或闰或否。彼所云太阳不及交宫即置为闰者,何独于此而自背其法乎?盖孟秋非归馀之终,故天正不能履端于始,地正不能举正于中也。如此,则四时不定,岁功不成,而闰法又安用之?且壬寅正月,定朔旧法在丙子丑初,即彼法亦在丙子子正,则辛丑之季冬当为大尽,而明年正月中气复移于今岁之秒。彼亦自觉其未安,故进岁朔于乙亥,而季冬为小尽之月,皆所谓欲盖弥彰者耳。即辛丑岁朔,以彼法推,当会于亥正,而今在戌正,差至六刻,其他抵牾,更难枚举。噫!作法如是,而犹自以为尽善,可乎​​?盖其说以日行盈缩为节气短长,每遇日行最盈,则一月可置一气,是古有气盈、朔虚,而今更有气虚、朔盈矣。然或晦朔两节而中气介其间。如丙戌仲冬,去闰稍远,犹可不论;独辛丑仲冬,冬至、大寒俱在晦朔,去闰最近,进退无据。苟且迁就,有不胜其弊者。夫闰法之主平气,行之已数千年矣,今一变其术,未久而辄穷,至于无可如何,则又安取纷更为也!”柽樟后坐法死。弟耒,亦学历算,见文苑传。

方中通

方中通,字位伯,桐城人。集诸家之说,着数度衍二十四卷,附录一卷。言:“九章皆出于句股,环矩以为圆,合矩以为方,方数为典。以方出圆,句股之所生也;少广,方圆所出也。方田、商功,皆少广所出。一方一圆,其间不齐,始出差分,而均输对差分之数,盈朒借差求均。又差分、均输所出,而以方程济其穷。度量衡原出黄锺,粟布出焉,黄锺出于方圆者也。”又言:“古法用竹径一寸长六分二百七十一而成六觚为一握,后世有珠算而古法亡矣。泰西之笔算、筹算,皆出九九。尺算即比例规,出三角。乘莫善于筹,除莫善于笔,加减莫善于珠,比例莫善于尺。”其珠算归法,三一三十一,四一二十二之类,“十”字俱作“馀”字。其尺算以三尺交加,取数祗用平分一线。时广昌揭暄亦明算术,与中通论难日轮大小,得光肥影瘦之故,及古今岁差之不同,须测算消长以齐之。一昼夜人一万三千五百息,每息宗动天行十万里有奇。别录为一书,曰揭方问答。

揭暄

揭暄,字子宣,广昌人。著璇玑遗述七卷,一名写天新语。论日月东行如槽之滚丸,而月质不变。又谓七政之小轮。皆出自然,如盘水之运旋而周遭,以行疾而成旋涡,遂成留逆。于五星西行,日月盈缩,皆设譬多方,言之近理。康熙己巳,以草稿寄梅文鼎,抄其精语为一卷,称其“深明西术,而又别有悟入,其言多古今所未发”。卒年逾八十。

梅文鼎

梅文鼎,字定九,号勿庵,宣城人。儿时侍父士昌及塾师罗王宾仰观星象,辄了然于次舍运转大意。年二十七,师事竹冠道士倪观湖,受麻孟旋所藏台官交食法,与弟文鼐、文鼏共习之。稍稍发明其立法之故,补其遗缺,著历学骈枝二卷,后增为四卷,倪为首肯。

值书之难读者,必欲求得其说,往往废寝忘食。残编散帖,手自抄集,一字异同,不敢忽过。畴人子弟及西域官生,皆折节造访,有问者,亦详告之无隐,期与斯世共明之。所著历算之书凡八十馀种。

读元史授时历经,叹其法之善,作元史历经补注二卷。又以授时集古法大成,因参校古术七十馀家,著古今历法通考七十馀卷。授时以六术考古今冬至,取鲁献公冬至证统天术之疏,然依其本法步算,与授时所得正同,作春秋以来冬至考一卷。元史西征庚午元术,西征者,谓太祖庚辰;庚午元者,上元起算之端也。历志讹太祖庚辰为太宗,不知太宗无庚辰也。又讹上元为庚子,则于积年不合。考而正之,作庚午元算考一卷。授时非诸古术所能方,郭守敬所著历草,乃历经立法之根,拈其义之精微者,为郭太史历草补注二卷。立成传写鲁鱼,不得其说,不敢妄用,作大统立成注二卷。授时术于日躔盈缩、月离迟疾,并以垛积招差立算,而九章诸书无此术,从未有能言其故者,作平立定三差详说一卷,此发明古法者也。唐九执术为西法之权舆,其后有婆罗门十一曜经及都聿利斯经,皆九执之属。在元则有札马鲁丁西域万年术,在明则马沙亦黑、马哈麻之回回术、西域天文书,天顺时具琳所刻天文实用,即本此书,作回回历补注三卷,西域天文书补注二卷,三十杂星考一卷。表景生于日轨​​之高下,日轨又因里差变移,作四省表景立成一卷。周髀所言里差之法,即西人之说所自出,作周髀算经补讠主一卷。浑盖之器,最便行测,作浑盖通测宪图说订补一卷。西国以太阳行黄道三十度为一月,作西国日月考一卷。西术中有细草,犹授时之有通轨也,以历指大意隐括而注之,作七政细草补注三卷。新法有交食蒙求、七政蒙引二书,并逸,作交食蒙求订补二卷、附说二卷。监正杨光先不得已日食图,以金环食与食甚分为二图,而各有时刻,其误非小,作交食作图法订误一卷。新法以黄道求赤道交食,细草用仪象志表,不如弧三角之亲切,作求赤道宿度法一卷。谓中、西两家之法,求交食起复方位,皆以东西南北为言。然东西南北惟日月行至午规而又近天顶,则四方各正其位。非然,则黄道有斜正之殊,而自亏至复,经历时刻,辗转迁移,弧度之势,顷刻易向。且北极有高下,而随处所见必皆不同,势难施诸测验。今别立新法,不用东西南北之号,惟人所见日月员体,分为八向,以正对天顶处为上,对地平处为下,上下联为直线,作十字横线,命之曰左、曰右,此四正向也;曰上左、上右,曰下左、下右,则四隅向也。乃以定其受蚀之所在,则举目可见,作交食管见一卷。太阳之有日差,犹月离交食之有加减时,因表说含糊有误,作日差原理一卷。火星最为难算,至地谷而始密,解其立法之根,作火纬图法一卷。订火纬表记,因及七政,作七政前均简法一卷。天问略取纬不真,而列表从之误,作黄赤距纬图辨一卷。新法帝星、句陈经纬刊本互异,作帝星句陈经纬考异一卷。测帝星、句陈二星为定夜时之简法,作星轨真度一卷。以上皆以发明新法算书,或正其误,或补其缺也。

康熙己未,明史开局,历志为钱塘吴任臣分修,经嘉禾徐善、北平刘献廷、毗陵杨文言,各有增定,最后以属黄宗羲,又以属文鼎,摘其讹误五十馀处,以算草、通轨补之,作明史历志拟稿一卷。虽为大统而作,实以阐明授时之奥,补元史之缺略也。其总目凡三:曰法原,曰立成,曰推​​步。而法原之目七:曰句股测望,曰弧天割圜,曰黄赤道差,曰黄赤道内外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。立成之目凡四:曰太阳盈缩,曰太阴迟疾,曰昼夜刻,曰五星盈缩。推步之目凡六:曰气朔,曰日躔,曰月离,曰中星,曰交食,曰五星。

又作历志赘言一卷,大意言:“明用大统,实即授时,宜详元史缺载之事,以补其未备。又回回历承用三百年,法宜备书。又郑世子历学已经进呈,宜详述。他如袁黄之历法新书,唐顺之、周学述之会通回历,以庚午元历之例例之,皆得附录。其西洋历方今现行,然崇祯朝徐、李诸公测验改宪之功,不可没也,亦宜备载缘起。”

己巳,至京师,谒李光地于邸第,谓曰;“历法至本朝大备矣,而经生家犹若望洋者,无快论以发其趣也。宜略仿元赵友钦革象新书体例,作简要之书,俾人人得其门户,则从事者多,此学庶将大显。”因作历学疑问三卷。

光地扈驾南巡,驻跸德州,有旨取所刻书籍回奏,光地匆遽未及携带,遂以所辣刻历学疑问谨呈。奉旨:“朕留心历算多年,此事朕能决其是非,将书留览再发。”二日后,召见光地,上云:“昨所呈书甚细心,且议论亦公平,此人用力深矣,朕带回宫中仔细看阅。”光地因求皇上亲加御笔,批驳改定,上肯之。

明年癸未春,驾复南巡,于行在发回原书,面谕光地:“朕已细细看过。”中间圈点涂抹及签贴批语,皆上手笔也。光地复请此书疵缪所在,上云:“无疵缪,但算法未备。”盖其书本未完成,故圣谕及之。

未几,圣祖西巡,问隐沦之士,光地以关中李颙、河南张沐及文鼎三人对。上亦夙知颙及文鼎,乙酉二月,南巡狩,光地以抚臣扈从,上问:“宣城处士梅文鼎焉在?”光地以“尚在臣署”对。上曰:“朕归时,汝与偕来,朕将面见。”四月十九日,光地与文鼎伏迎河干,越晨,俱召对御舟中,从容垂问,至于移时,如是者三日。上谓光地曰:“历象算法,朕最留心,此学今鲜知者,如文鼎,真仅见也。其人亦雅士,惜乎老矣!”连日赐御书扇幅,颁赐珍馔。临辞,特赐“绩学参微”四大字。越明年,又命其孙瑴成内廷学习。

五十三年,瑴成奉上谕:“汝祖留心律历多年,可将律吕正义寄一部去,令看,或有错处,指出甚好。夫古帝王有’都俞吁咈’四字,后来遂止有’都俞’,即朋友之间,亦不喜人规劝,此皆是私意。汝等须竭力克去,则学问长进。可并将此意写与汝祖知之。”恩宠为古所未有。

文鼎图注各直省及蒙古各地南北东西之差,为书一卷,名分天度里。地既浑员,则所云二百五十里一度,纬度则然,若经度离赤道远,则里数渐狭。故惟路正东西行,自有一定算法;路或斜行,则其法不可用为立法。若两地各有北极高度,又有相距之经度,而无相距里数,是有两边一角,而求馀一边,即可以知斜距之里。若先有斜距之里数而求经度,是为三边求角,亦可以知相距之经度。其法并用斜弧三角形立算,可与月食求经度之法相参,而且简易的确。

文鼎于测算之图与器,一见即得要领,古六合、三辰、四游之仪,以意约为小制,皆合。又自制为月道仪,揆日测高诸器,皆自出新意。尝登观像台,流览新制六仪,及元郭守敬简仪、明初浑球,指数其中利病,皆如素习。其书有测器考二卷,又自鸣钟说一卷,壶漏考一卷,日晷备考一卷,赤道提晷一卷,勿庵揆日器一卷,加时日轨高度表一卷,揆日测说一卷,璇玑尺解一卷,测量定时简法一卷,勿庵测望仪式一卷,勿庵仰观仪式一卷,月道仪式一卷。

其说曰:“月道出入于黄道,犹黄道之出入于赤道也。自古及今,未有为之仪器者。今依浑盖北密南疏之度,以黄极为枢,而月道半在其内,半出其外,则月纬大小之理,及正交、中交、交前、交后之法,可以众著。仪以铜为之,略如浑盖,其上盘为月道,亦如浑盖天盘之黄道圈;其下盘黄道经纬,分宫分度,并以黄极为心,而侭边以黄纬九十五度少半为限。出黄道南五度少半,月道所到也。”

礼部郎中李焕斗尝从文鼎问历法,作答李祠部问历一卷。沧州老儒刘介锡同客天津,问历法,作答刘文学问天象一卷。又言生平于难读之书,每手疏而携诸箧,以待明者问之,于历学尤多,作思问编一卷。纬度以测日高,因知北极为用甚博,古用二至二分,今则逐日可测,承友人之问,作七十二候太阳纬度一卷。潘天成从文鼎学历,而苦于布算,作写历步历法一卷授之。又授时步交食式一卷,文鼎季弟文鼏之稿也。步五星式六卷,文鼎与其仲弟文鼐共成之者也。

文鼎每得一书,皆为正其讹阙,指其得失,又古历列星距度考一卷,从残坏之本,寻其普天星宿,入宿去极度分,中缺二星,又从闽中林侗写本补完之,而断以为授时之法。万历中利玛窦入中国,始倡几何之学,以点线面体为测量之资,制器作图,颇为精密。学者张皇过甚,未暇深考,辄薄古法为不足观;而株守旧法者,又斥西人为异学:两家之说,遂成隔碍。文鼎集其书而为之说,用筹、用尺、用笔,稍稍变从我法。若三角、比例等,原非中法可赅,特为表出。古法方程,亦非西法所有,则专著论,以明古人之精意不可湮没。又为九数存古,以著其概。总为中西算学通例一卷。

馀分九种:一,勿庵筹算七卷。二,笔算五卷。皆易横为直,以便中文。三,度算一卷,原无算例,其弟文鼏补之,而参以嘉禾陈荩谟尺算用法。又有矩算,用一尺一方板,则文鼎所创。四,比例数解四卷。释穆尼阁所译之对数。五,三角法举要五卷。其目有五:曰测量名义,曰算例,曰内容外切,曰或问,曰测量。六,方程论六卷,安溪李鼎征为刻于泉州。七,几何摘要三卷,就原本删繁补遗。八,句股测量二卷,就周髀、海岛诸术,录要以存古意。九,九九数存古十卷,九数即九章隶首之法,仅存者九章之目耳。后有作者,莫能出其范围。

外有书一十七种为续编:一,少广拾遗一卷。古有一乘方至九乘方相生之图,而莫详所用。后或增之至十乘,惟四乘方与十乘方不可藉用他法,因为推演至十二乘方,有条不紊。二,方田通法一卷,算家有捷田二十三法,广之为百二十有四。三,几何补编四卷。几何原本六卷,止于测面,七卷以后,未经译出,取测量全义量体诸率,实考其作法根源,以补原书之未备。而原书二十等面体之说,向固疑其有误者,今乃得其实数。又原本理分中末线,但有求作之法,而莫知所用。今依法求得十二等面及二十等面之体积,因得其各体中棱线及辏心对角诸线之比例。又两体互相容及两体与立方、立员诸体相容各比例,并以理分中末线为法,乃知此线不为徒设。四,西镜录订注一卷。五,权度通几一卷。重学为西术一种,载于比例规解者多讹误,今以南勋卿仪象志互相订补,其数始真。六,奇器补注二卷。关中王公征奇器图说所述引重转木诸制,并有裨于民生日用,而又本于西人重学,以明其意。尝以书史所传,如汉杜诗作水《厂义》以便民,及王氏农书诸水器之类,睹记所及,如刘继庄诗集载筒车灌田法,稍为辑录,以补其所遗,而图与说不相应者正之,以西字为识者易之。七,正弦简法补一卷。大测诸书,言作八线表之法详矣,薛凤祚书有用矢线求度法,为之作图,以明其意。因得两法,在六宗、三要之外,而为用加捷。两法者,一曰正弦方幂倍而退位得倍弧之矢,一曰正矢进位折半得半弧正弦上方幂。八,弧三角举要五卷。历书皆三角法也,内分二支:一曰平三角,一曰弧三角。凡历法所测,皆弧度也,弧线与直线不能为比例,则剖析浑员之体,而各于弧线中得其相当直线。即于无句股中寻出句股,此法之最奇而确者。弧三角之用法虽多,而其最著明者,为黄赤交变一图。反复推论,了如列眉,熟此一端,则其馀不难推及矣。测量全义第七、第八、第九卷专明此理,而举例不全,且多错谬。其散见诸历指者,仅存用数,无从得其端倪。天学会通圈线三角法,作图草率,往往不与法相应。一以正弧三角为纲,仍用浑仪解之。正弧三角之理,尽归句股。参伍其变,斜弧三角之理,亦归句股矣。其目:曰弧三角体式,曰正弧句股,曰求馀角法,曰弧角比例,曰垂线,曰次形,曰垂弧捷法,曰八线相当。九,环中黍尺五卷。举要中弧度之法已详,然更有简妙之用宜知。测量全义原有斜弧两矢较之例,所立图姑为斜望之形,而无实度可言。今一以平仪正形为主,凡可以算得者,即可以器量。浑仪真像,呈诸片楮,而经纬历然,无丝毫隐伏假借。至于加减代乘除之用,历书举其名不详其说,疑之数十年,而后得其条贯,即初数次数甲数乙数诸法。其目:曰总论,曰先数后数,曰平仪论,曰三极通几,曰初数次数,曰加减法,曰甲数乙数,曰加减捷法,曰加减又法,曰加减通法。十,巉堵测量二卷。古法斜剖立方,成两巉堵形,巉堵又剖为二,成立三角,立三角为量体所必需,然此义皆未发。今以浑仪黄赤道之割切二线成立三角形,立三角本实形,今诸线相遇成虚形,与实形等,而四面皆句股,西法通于古法矣。又于馀弧取赤道及大距弧之割切线,成句股方锥形,亦四面皆句股,即弧度可相求,亦不言角,古法通于西法矣。二者并可以坚楮为仪象之,则八线相为比例之理,了如掌纹。而郭守敬员容方直矢接句股之法,不烦言说而解。其目:曰总论,曰立三角摘要,曰浑员内容立三角,曰句股锥,曰句股方锥,曰方巉堵容员巉堵,曰员容方直仪简法,曰郭太史本法,曰角即弧解。十一,用句股解几何原本之根一卷。几何不言句股,而其理莫能外。故其最难通者,以句股释之则明。惟理分中末线似与句股异源,今为游心于立法之初,仍不外乎句股,益信古句股义包举无遗。徐光启译大测表,名之曰割圜句股八线表,其知之矣。十二,几何增解数则。其目有四:曰以方斜较求斜方,曰切线角与员内角交互相应,曰量无法四边形捷法,曰取平行线简法。并就几何各题而增,不入补编,附前条共卷。十三,仰观覆矩二卷。一查地平经度为日出入方位,一查赤道经度为日出入时刻,并依里差,用弧三角立算,与历书法微别。十四,方员幂积二卷。历书周径率至二十位,然其入算,仍用古率十一与十四之比例,岂非以乘除之际难用多位欤?今以表列之,取数殊易,乃为之约法,则径与周之比例即方、员二幂之比例,亦即为立方、立员之比例,殊为简易直捷。十五,丽泽珠玑一卷。友朋之益,取其有关算学者。十六,算器考一卷。十七,数学星槎一卷。

文鼎历学疑问,曾呈御览,后又引申其说,作历学疑问补二卷,皆平正通达,可为步算家准则。

文鼎为学甚勤,刘辉祖同舍馆,告桐城方苞曰:“吾每寐觉,漏鼓四五下,梅君犹构灯夜诵,乃今知吾之玩日而愒时也。”居京师时,裕亲王以礼延致朱邸,称梅先生而不名。李文贞公命子锺伦从学,介弟鼎征及群从皆执弟子之礼。宿迁徐用锡,晋江陈万策,景州魏廷珍,河间王之锐,交河王兰生,皆以得与参校为荣。家多藏书,频年游历,手抄杂帙不下数万卷。岁在辛丑,卒,年八十有九。上闻,特命有地治者经纪其丧,士论荣之。

梅以燕

子以燕,字正谋。康熙癸酉举人。于算学颇有悟入,有法与加减同理,而取径特殊,能于恒星历指中摘出致问,文鼎所谓“能助馀之思”也。早卒。

梅瑴成

瑴成,字玉汝,以燕子。文鼎疑日差既有二根,即宜列二表,瑴成以为:“定朔时既有高卑盈缩之加减矣,复用于此,岂非复乎?”文鼎因其说,然后悟交食之非缺,比之童乌九岁能与太玄。康熙乙未进士,改编修,与修国史。 瑴成肄业蒙养斋,以故数学日进。御制数理精蕴、历象考成诸书,皆与分纂。所著增删算法统宗十一卷,赤水遗珍一卷,操缦卮言一卷。

明代算家,不解立天元术,瑴成谓立天元一即西法之借根方,其说曰;“尝读授时历草求弦矢之法,先立天元一为矢,而元学士李冶所著测圜海镜,亦用天元一立算。传写鲁鱼,算式讹舛,殊不易读。明唐荆川、顾箬溪两公互相推重,自谓得此中三昧。荆川之说曰:’艺士著书,往往以秘其机为奇,所谓天元一云尔,如积求之云尔,漫不省其为何语。’而箬溪则言:’细考测圜海镜,如求城径,即以二百四十为天元,半径即以一百二十为天元,即知其数,何用算为?似不必立可也。’二公之言如此,馀于顾说颇不谓然,而无以解也。后供奉内廷,蒙圣祖仁皇帝授以藉根之法,且谕曰:’西人名此书为阿尔热八达,译言东来法也。’敬受而读之,其法神妙,诚算法之指南,而窃疑天元一之术颇与相似。复取授时历草观之,乃焕然冰释,殆名异而实同,非徒似之而已。夫元时学士著书,台官治历,莫非此物。乃历久失传,犹幸远人慕化,复得故物。东来之名,彼尚不忘所自,而明人视若赘疣而欲弃之。噫!好学深思如唐、顾二公,尚不能知其意,而浅见寡闻者,又何足道哉?”

明史馆开,瑴成与修天文、历志,呈总裁书曰:“一历志半系先祖之藁,但屡经改窜,非复原本,其中讹舛甚多。凡有增删改正之处,皆逐条签出。一,天文志不宜入历志,拟仍另编。盖历以钦若授时,置闰成岁,其术委曲繁重,其理精微,为说深长。且有明二百七十馀年沿革非一事,造历者非一家,皆须入志。虽尽力删削,卷帙犹繁。若加入天文志之说,则恐冗杂不合史法。自司马氏分历与天官为二书,历代因之,似不可易。一,天文志例载天体、星座、次舍、仪器、分野等事,辽史谓天象千古不变,历代之志天文者近于衍,其说似是而非。盖天象虽无古今之异,而古今之言天者,则有疏密之殊。况恒星去极,交宫中星,晨昏隐现,岁岁有差,安得谓千古不易?今拟取天文家精妙之说著于篇;其不足信者,拟削之。”

又时宪志用图论曰:“客问于梅子曰;’史以纪事,因而不创。闻子之志时宪也用图,此固廿一史所无,而子创为之,宜执事以为非体而欲去之也。而子固执己见,复呶呶上言,独不记昌黎之自讼乎?吾窃为子危之!’梅子曰:’吾闻史之道贵信而直,馀本不原为史官,总裁谓时宪、天文两志非专家不能办,不以为固陋而委任之。余既不获辞,不得不尽其职。今客谓旧史无图而疑馀之创,窃谓史之记事,亦视其信否耳,因、创非所计也。夫后史之增于前者多矣,汉书十志,已不侔于八书,而后汉皇后本纪,与魏书之志释老,唐书之传公主,宋史之传道学,皆前史所无,又何疑于国史用图之为创哉?且客未读明史耶?明史于割员弧矢、月道距差诸图,备载历志,何明史不疑为创,而顾疑馀乎?’客曰:’后史增于前者,必非无因,若明史之用图,亦有说欤?’梅子曰:’疑以传疑,信以传信,春秋法也,作史者谁能易之?古之治历者数十家,大率不过增损日法,益天周,减岁馀,以求合一时而已。即太初之起数锺律,大衍之造端蓍策,亦皆牵合,并未能深探天行之故,而发明其所以然之理。本未尝有图,史臣何从取而载之?至元郭太史修授时,不用积年日法,全凭实测,用句股割员以求弦矢,于是有割圜诸图载于历草。作元史时,不知采摭,则宋、王诸公之疏也。明之大统,实即授时。本朝纂修明史诸公,以义非图不明,遂采历草入志,其识极超。复经圣君贤相鉴定,不以为非体而去之,俾精义传于无穷,​​洵足开万古作史者之心胸矣。至于时宪立法之妙,义蕴之奥,悉具于图,更不可去。如必以去图为合体,岂以明史为非体,

而本朝之制不足法欤?且客亦知时宪之图所自来乎?我圣祖仁皇帝悯绝学之失传,留心探索四十馀年,见透底蕴,始亲授儒臣,作图立说,以阐明千古不传之秘,即御制历象考成是也。馀亲承圣训,实与汇编之列。彼前辈纂修明史,尚不忍没古人之善,创例以传之。而馀以承学之臣,恭纪御制,顾恐失执事之意,而迁就迎合,以致圣学不彰,贻误后学,尚得谓之信史乎?不信之史,人可塞责,而何用馀越俎而代之?馀之呶呶,非沽直,不得已也。然则韩子之自讼,亦谓其言之可以已者耳。使韩子果务为容悦以求幸免,则诤臣之论,佛骨之表,又何为若是其侃侃哉? ’客唯唯而退。 ”

又仪象论曰:“齐政授时,仪象与算术并重。盖非算术,无以预推节候以前民用;非仪象,无以测现在之行度,以验推步之疏密,而为修改之端也。虞书’璇玑玉衡’,为仪象之权舆,其制不传。汉人创造浑天仪,即玑衡遗制,唐、宋皆仿为之。至元始有简仪、仰仪、窥几、景符等器,视古加详矣。明于齐化门南倚城筑观像台,仿元制作浑仪、简仪、天体三仪,置于台上,台下有晷影堂,圭表壶漏,国初因之。康熙八年,命造新仪,十一年,告成,安置台上,其旧仪移藏他室。五十四年,西人纪理安欲炫其能而灭弃古法,复奏制象限仪,遂将所遗旧器用作废铜,仅存明仿元浑仪、简仪、天体三仪而已。所制象限仪成,亦置台上。按明史云:’嘉靖间修相风杆及简、浑二仪,立四大表以测晷影,而立运仪、正方案、悬晷、偏晷,具备于观像台,一以元法为断。’馀于康熙五十二三年间,充蒙养斋汇编官,屡赴观像台测验。见台下所遗旧器甚多,而元制简仪、仰仪诸器,俱有王珣、郭守敬监造姓名。虽不无残缺,然睹其遗制,想见创造苦心,不觉肃然起敬​​也。乾隆年间,监臣受西人之愚,屡欲废台下馀器作铜送制造局,赖廷臣奏请存留,礼部奉旨查检,始知仅存三仪,殆纪理安之烬馀也。夫西人欲藉技术以行其教,故将尽灭古法,使后世无所考,彼益得以居奇,其心叵测。乃监臣无识,不思存什一于千百,而反助其为虐,何哉?乾隆九年冬,有旨移置三仪于紫微殿前,古人法物,庶几可以永存矣。”

又论句股曰:“句股和较相求​​,言算学者莫不留心,其法可谓详且备矣,未有以句股积与句弦和较为问者。元学士李冶著测圜海镜,用馀句、馀股立算,神明变化,几如五花八门,亦未及此。岂俱未计及耶?抑有其法而遗之耶?统宗少广章内,虽有句股积及句弦较两题,乃偶合于句三股四之数,非通法。昔待罪蒙养斋,汇编数理精蕴,意欲立法以补其缺。先用平方辗转推求,皆不能御,思之累日,而后得用带纵立方求句股二法。”

卒,年八十有三,谥文穆。

梅钫

钫,字导和,瑴成第四子也。 瑴成纂丛书辑要六十馀卷,图皆所绘。删订统宗图,十之七八,皆出其手。年二十六,卒。

梅文鼐

文鼐,字和仲,文鼎从弟也。初学历时,未有五星通轨,无从入算。与兄文鼎取元史历经,以三差法布为五星盈缩立成,然后算之,共成步五星式六卷。早卒。

梅文鼏

文鼏,字尔素,文鼎季弟也。著中西经星同异考一卷。以三垣二十八宿星名,依步天歌次第,胪列其目,而以中、西有无多寡分注其下,载古歌、西歌于后。古歌即步天歌,西歌则利玛窦所撰经天该也。其南极诸星,则据汤若望算书及南怀仁仪象志,为考证补歌,附之于末。其发凡略言:“齐七政,非先定恒星,则无从着手。故曰‘七政如乘传,恒星其地志也;七政如行棋,恒星其楸局也。’曰‘恒’者,谓其终古不易;曰‘经’者,谓其不同纬星南北行,‘经’亦有‘恒’之义焉。是编专以中、西两家所传之星歌星名考其多寡同异,故曰经星同异考。星官之书,自黄帝始,重黎、羲和,志天文者,纷糅不一。汉张衡云:‘中外之官常明者百有二十四,可名者三百二十,为星二千五百,微星之数盖万一千五百二十。’至三国时,太史令陈卓始列甘、石、巫咸三家所著星,总二百八十三官,一千四百八十四星。自唐以来,以仪考测,迨宋两朝志,始能言某星去极若干度,入某星若干度,为说较详。此中国之言星学者。西儒星学远有端绪,据其书所译,周赧王丙寅古地末一测,汉永和戊寅多禄某一测,明嘉靖乙酉尼谷老一测,万历乙酉第谷一测,崇祯戊辰汤若望一测。国朝康熙壬子,南怀仁著仪象志,又依岁差改定黄经及赤经。今依南公志表,稽其大小,分为六等。一等大星一十有六,二等星六十有八,三等星二百有八,四等星五百一十有二,五等星三百四十有二,六等星七百三十有二,总计一千八百七十八。其微茫小星,则不能以数计。此泰西之学也。”

文鼏又有累年算稿,文鼎为录存,名曰授时步交食式一卷。又有几何类求新法,算书中比例规解,本无算例,文鼎作度算,用文鼏所补,而参之以陈荩谟尺算用法。

明安图

明安图,字静庵,蒙古正白旗人。官钦天监监正。受数学于圣祖,预修御定历象考成后编、御定仪象考成。因西士杜德美用连比例演周径密率及求正弦、正矢之法,知其理深奥,索解未易,因积思三十馀年,著割圜密率捷法四卷。一曰步法,于杜氏三法外,补创弧背求通弦、求矢法,仍杜氏原法,但通加一四除耳。又弦、矢求弧背,并通弦、矢求弧背,凡六法,合杜氏共成九法。其弦求弧背法,以弦为连比例二率,半径为一率,求得二、四、六、八、十诸率,以一、三、五、七、九之五数各自乘,为累次乘数。二、三、四、五、六、七、八、九相挨,两两相乘,为累次除数,即用二率为第一得数。复置四率,以第一乘数乘之,第一除数除之,为第二得数。又置六率,以第一、第二乘数乘之,第一、第二除数除之,为第三得数。又置八率,以第一、第二、第三乘数乘之,第一、第二、第三除数除之,为第四得数。如是累求,至所得数祗一位止,乃★之,即所求之弧背也。矢求弧背法,倍正矢为连比例三率,亦以半径为一率,求得五、七、九、十一诸率。以一、二、三、四、五之五数各自乘,为屡次乘数,三、四、五、六、七、八、九、十相挨,两两相乘,为屡次除数,即用三率为第一得数。复置五率,以第一乘数乘之,第一除数除之,为第二得数。又置七率,以第一、第二乘数乘之,第一、第二除数除之,为第三得数。又置九率,以第一、第二、第三乘数乘之,第一、第二、第三除数除之,为第四得数。如是累求,至所得数祗一位而止。开平方,即所求之弧背也,通弦求弧背,亦各加一四除。矢求弧背,则三率又多加一四。因更创馀弧求弦矢,馀弦矢求本弧,及借弧与正、馀弦互求四术。二曰用法,以角度求八线,及直线、弧线、三角形边角相求,共设七题。谓今法所以密于古者,以用三角形也。然三角形非用八线表不能相求,惟用此法,以之立表则甚易,以之推三角形,则不用表而得数同。三、四两卷曰法解,皆阐明弦、矢与弧背相求之根。其法先以一分弧通弦求二分弧通弧弦之数,次以一分、二分弧通弦求三分、四分全弧通弦之数,以一分三分弧通弦求五分全弧通弦之数。又因二分、五分相乘得十分,十分自乘得百分,十分、百分相乘得千分,十分、千分相乘得万分。遂以半径为一率,一分弧通弦为二率,各如相乘之率数,求得十、百、千、万诸分弧率数。比例得弧背求通弦,应减四率二十四分之一,加六率八十分之一,减八率一百六十八分之一,加十率二百八十八分之一,减十二率四百四十分之一,加十四率六百二十四分之一,减十六率八百四十分之一。各四归之,则二十四得六,为二三相乘数;八十得二十,为四五相乘数;一百六十八得四十二,为六七相乘数;二百八十八得七十二,为八九相乘数;四百四十得一百一十,为十与十一相乘数;六百二十四得一百五十六,为十二与十三相乘数;八百四十得二百一十,为十四与十五相乘数。故以二、三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘,为屡次除数。又以通弦求得二率一分多,四率一分,六率九分,八率二百二十五分,十率一万一千二十五分,十二率八十九万三千二十五分,十四率一亿八百五万六千二十五分,得后率分数为实。各递降二等,使二率降为四率,四率降为六率,得前率分数为法。以法除实,得四率一分,为一自乘数;六率九分,为三自乘数;八率二十五分,为五自乘数;十率四十九分,为七自乘数;十二率八十一分,为九自乘数;十四率一百二十一分,为十一自乘数;十六率一百六十九分,为十三自乘数:故以一、三、五、七、九等数各自乘为屡次乘数。次求通弦法,求得十、百、千、万诸分弧正矢率数,比例得弧背求正矢,应减五率十二分之一,加七率三十分之一,减九率五十六分之一,加十一率九十分之一,减十三率一百三十二分之一,加十五率一百八十二分之一,减十七率二百四十分之一;而十二为三四相乘数,三十为五六相乘数,五十六为七八相乘数,九十为九与十相乘数,一百三十二为十一与十二相乘数,一百八十二为十三与十四相乘数,二百四十为十五与十六相乘数,故以三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘,为屡次除数。又以正矢求得五率一分多,七率四分,九率三十六分,十一率五百七十六分,十三率一万四千四百分,十五率五十一万八千四百分,十七率二千五百四十万一千六百分,为后率分数,各递降二等为前率分数。如前通弦法,除得五率一分为一自乘数,七率四分为二自乘数,九率九分为三自乘数,十一率十六分为四自乘数,十三率二十五分为五自乘数,十五率三十六分为六自乘数,十七率四十九为七自乘数,故以一、二、三、四、五等数各自乘,为屡次乘数。书未成而卒,子新续之。

明新

新,字景臻,安图季子。充食俸生。安图病且革,以所著捷法授之,新遵父命,与门下士陈际新、张肱共续成之。

陈际新 张肱

陈际新,字舜五,宛平诸生。官灵台郎,为监正。续明安图割圜密率捷法,寻绪推究,质以生前面授之言。至乾隆甲午,始克成书。

刘湘煃

刘湘煃,字允恭,江夏人。闻梅文鼎以历算名当世,鬻产走千馀里,受业其门,湛思积悟,多所创获。文鼎得之甚喜,曰:“刘生好学精进,启予不逮!”其与人书曰:“金、水二星,历指所说未彻,得刘生说,而后二星之有岁轮,其理确不可易。”因以所著历学疑问嘱之讨论,湘煃为著订补三卷。又谓历法自汉、唐以来,五星最疏,故其迟、留、伏、逆皆入于占,至元郭守敬出,而五星始有推步经度之法,而纬则犹未备。西法旧亦未有纬度,至地谷而后有五星纬度,已在守敬后矣。历书有法原、法数,并为历法统宗。法原者,七政与交食之历指也;法数者,七政与交食经纬之表也,故历指实为造表之根本。今历所载金、水,历指如其法以造表,则与所步之表不合,如其表以推算测天,则又密合,是历虽有表数,而犹未知立表之根也。 ”乃作五星法像五卷,文鼎深契其说,摘其要目为五星纪要。

湘煃又欲为浑盖通宪天盘安星之用,以戊辰历元加岁差,用弧三角法,作恒星经纬表根一卷,及月离交均表根、黄白距度表根各一卷,皆补新法所未及也。所著又有论日、月食算稿各一卷,各省北极出地图说一卷,答全椒吴荀淑历算十问书一卷。

王文启

王文启,字宋贤,号惺斋,嘉兴人。乾隆辛未进士,授将乐县知县。究心律历句股之学,著书已刻者为惺斋杂着。内有史记、汉书正讹两种,其正史记之讹者,为律书、历书、天官书各一卷;正汉书之讹者,为律历志上下二卷。未刻者为历法记疑、句股衍、角度衍、九章杂论。而句股衍一书,因繁求简,最为精晰。分甲、乙、丙三集,甲集术原三卷,乙集纲要二卷,丙集晰义四卷。甲集首卷通论术原,为句股因积求边张本。二卷专论立方,因及平方法。三卷专论和数开立方,所以尽立方诸数之变。乙集两卷,为相求法百二十三则之纲要。丙集四卷,即相求法,逐则分晰其义,专取发明立法之意。

其总序曰:“句股弦相求法,参以和较,凡得七十八则,求句股中函数。又有幂积求容员、容方、容纵方,及依弦作底求容方,与句股求外方、外员之数。又有积数与句股和较相求​​容方,与句股馀数相求之法。综而计之,凡得二十九则。立表测量,得求高、求远、求深三则,重表亦然。旧算书多简略,详者又苦错出无绪。间尝力为区别,使各以类从,先定相求法百十三则。甲申仲秋,复理前绪,逐一布算,捷于旧法,而旧法仍附见,以资参考。至以中函积与弦之所和、所较相求而得句、股、弦之正数,旧法罕见,今亦窃拟一法,以附于后。又别创截弦分两,及补句求股、补股求句之法,分为六则,使不成句股之形,亦化为句股。并载不成句股求中函积二则,容方、容员四则,外切员径一则,员内累求句股六则,凡又一十九则。以该西术三角之算,兼备割员之用。使学者知周髀一经,于术无所不该。后人不能触类旁通,以尽其变,故使西术得出而争胜,其实西术亦出周髀,不能出折句为股之外也。”

又略例引言曰:“算家句股一门,为术最繁,非凿指一数​​以为布算之准,难以虚领其义。然如广三修四见于经者,特其正例,正例外变例尤多。必欲正变兼呈,则一卷中彼此错出,使阅者耳目数易,转增烦愦。兹特标举略例,亻并不成句股之形亦附见焉,以尽句股之变,而该三角之法。”

又答友问句股书曰:“欲求句股,先学开方,方有正方、纵方之异。纵方则以修广之和、较数开之,其次则求四率比例,有三率求四率之法,有二率求三率之法,又有一率求三率之法。知此即可以知求句、股、弦各无零数法。以三率之中率为主,倍中率为股,首末二率相减为句,相加为弦。依此衍之,得句股略例十数则,然后以句、股、弦为正数,两数相加为和,相减为较。又有句股三数相加减之和较数,弦与和,和弦与较和三数相加之和数也;弦与较,较弦与和较三数相减之较数也。三数相加减,今名之为兼三和较。凡正数和较之数各三,兼三和较各二,共十三数。十三数中,随举两数,即可求句股弦全数。凡得相求法九十四则,而容方、容员、截股分两、立表测量单表、重表之法,犹不与焉。其次则求截弦分两之法,是为一句股分两句股,即可以知不成句股亦可以分两句股。不成句股分两句股,即西法三角算之所由名,今则总以句股概之。其法取大小两句股形,小股与大句同数者合为一形,即为不成句股之形。分之为两,则所谓中垂线者,即小矩之股,大矩之句。以此衍之,又得不成句股略例二十馀则。依类推之,又得合形分两、削形求全二法。合形分两,则有正合形截偶分两、反合形截中分两、偏合形截边分两之法。削形求全,则有削去正矩、偏矩之殊,偏矩中又有浅削、深削之分。知此则句股之学尽矣。”元启尝曰:“我无他长,惟好学深思,心知其意而已。”然其句股术一书,几欲驾梅文鼎而上之,为算术中不可少之书云。

朱鸿

朱鸿,字云陆,秀水人。嘉庆七年进士,改翰林院庶吉士,散馆授编修。擢御史,历给事中,出官督理湖南粮储道。研精算学。同郡钱仪吉撰三国会要,集乾象、景初二术成,尝为作注。乌程陈杰时为台官博士,阳湖董祐诚亦客京邸,皆日从讲数,各出所得相质问。旧无椭圆求周术,为祐诚言,圜柱斜剖,则成椭员,可以句股形求之。祐诚既发明其说,系以图释。初得杜德美割圜九术写本,以示祐诚,创图解三卷。既成,复得密率捷法于李潢家,则蒙古监正明安图师弟续绎之书也,与传写本互异。鸿曾依杜法步算,径一者,周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四,周十者,径三一八三零九八八六一八三七九零六七一五三七七六七五四六六九六三八九零五六六六一。徐有玉采入务民义斋算学中。道光十年后,辞官仍居京师,撰考工记车制参解。又评程氏易畴考工创物小记,多所纠正云。

博启

博启,字绘亭,满洲正白旗人。乾隆中,官钦天监监副。尝因句股和较之术,前人论之极详,独句股形中所容之方边、员径、垂线三事,尚缺而未备。爰以三事分配和较,创法六十。惜其书未刊,法不传。今所传者,惟有方边及垂线求句、股、弦一题。法用平行线剖容方幂为四小句股形,借垂线为小句股和,借方边为小弦,求小句小股。以小股与垂线比,若方边与句比;以小句与垂线比,若方边与弦比。道光初,方履亨官监正,每举此题课士。其后得甘泉罗士琳力为表章,博术乃复明于世。

罗论云:“曩者闻方慎庵监正言绘亭监副有是法,失传。因仿监副遗法,用平行线剖半员幂为四小句股形,以半圆径减垂线馀,借为小句股和,借半员为小弦,求得小句、小股。以小股比垂线,若半员径比股;以小股比股,若半员径比弦。又以半员径减方边,得较。用平行线剖较幂为四小句股形,借半员径为小句股和,借较为小弦,求得小句、小股。以小股比半员径,若方边比句;以小句比半员径,若方边比股,以小股比股,若较比弦。用补副监之遗。复用天元术演得三事和较六十题,更立天、地两元为广例二十五术,撰句股容三事拾遗四卷。更试变通其术,御以八线,取方边用方斜率,得容方中之斜线。以垂线为一率,半径为二率,斜线为三率,求得四率为正割。检八线表得度用,与四十五度相加减,得垂线所分之大小两弧,副以半径为一率,垂线为二率,小弧正割为三率,求得四率为句。如以大弧正割为三率,求得四率为股,又如以大小两弧之两正切为三率,求得四率,为大小两弧之两分弦,相亻并得弦馀。二题仿此,其得数同,而尾数有奇零。以八线表所列之数至单位止,单位以下,弃其馀分,故不能如句股与天元所得之密合。或有妄诋天元术不能驭三角和较者,抑知天元创于宋、明之间,安能逆知西法之有三角而豫为立法?要在学者善为会通耳。试设平三角形,有一角而角在两边之中,有大边与对边和,有小边与对边和,求三道及垂线,此西人常法所不能御者。若立天元一术,则任求何边或和数或较数,皆一平方即得。然则天元之与西法,其优劣可见矣。”

许如兰

许如兰,字芳谷,全椒人。乾隆三十年举人,大挑知县,分发福建。因亲老改江西,历任浮梁、新建等县事。丁忧服阕,赴福建,题补侯官,未履任,会瘴气发,病卒。

如兰性敏,所读书皆究心精妙,于历算始习西法,通薛凤祚所译天步真原、天学会通。时同县山西宁武同知吴烺受梅文鼎学于刘湘煃,如兰因并习梅氏历算。又于乾隆四十年夏,谒戴震于京都,受句股割圜记。四十四年,谒董化星于常州。戴传缉古算经十书,而董则专业薛氏者也。由是兼通中、西之学。

尝谓其弟子胡早春曰:“古人以句股方程列于小学,童而习之,人人能晓,今则老宿不能通其义。一则时尚帖括,视句股为不急之务;再则习为风雅,不屑持筹握算,效畴人子弟所为。噫,过矣!”又谓:“士大夫不精弧矢之术,虽识天文,无益也。畴人算工不明像数之理,虽能步算,无益也。”著有乾象拾遗、春晖楼集诸书,今多散佚。

其存者,有书梅氏月建非专言斗柄论后,略曰:“天气浑沦,无可识认,古人不得已,即以恒星为天以识日躔。恒星积久而差,冬至日躔不在原宿,始立岁差之法。古谓恒星不动,而黄道西移。今测普天星座皆动,其经纬之度,不随赤道运转,而顺黄道东移。故谓黄道不动,而恒星东行,与七政同一法。”又谓:“古人以中数为岁,朔数为年。上古气朔同日,故月建起于节气,而不起于中气;日躔过宫,起于中气,而不起于节气。起于节气,故曰冬至子之半;起于中气,故曰冬至日躔星纪之次也。然则一岁十二建,乃天道经历十二辰,故谓之月建,此万古不易者也。斗柄所指分位不真,且恒星东移,积久有差,辨之诚是也。但古人云:’斗为帝车,斟酌元气而布之四方’。又曰:’招摇柬指。’不过言天道无迹。可见顺时布化,斗柄有像可征耳。拘泥其词,则惑矣。”其岁差说略曰:“恒星一年东行五十馀秒,又黄、赤二道斜交,并非平行,于左旋至速之中,微斜牵向右。日之于天,犹经纬之​​于日也。日行至黄道分至节气之限,则春秋寒暑皆随之而应。七政躔于各宫,遇各宫燥湿寒温风雨,则随恒星之性而应。然则冬、夏二至,乃黄道上子、午之位也。春、秋二分,乃黄道上卯、酉之位也。惟唐、虞时冬至日躔虚中,恒星之子中,正逢黄道之子中。嗣是渐差,而东周在女,汉在斗,今在箕。黄道之子,非恒星之子也。以丑宫初度为冬至者,因周时冬至恒星已差至丑,周人即以恒星为黄道之十二次,故命丑为星纪,言诸星以此纪也。其实丑乃周时恒星之宿度,并非恒星之子中。今并不在丑,又移至寅十馀度矣。由今箕一以上溯古虚五,历年四千有馀,已差至五十八度,此恒星东行之明验也。”其他著论无关历算者不录。

清史稿/卷507

列传二百九十四 畴人二

李潢汪莱陈杰丁兆庆张福僖时曰淳李锐黎应南

骆腾凤项名达王大有丁取忠李锡蕃谢家禾吴嘉善

罗士琳易之瀚顾观光韩应陛左潜曾纪鸿夏鸾翔

邹伯奇李善兰华衡芳弟世芳

李潢,字云门,钟祥人。乾隆三十六年进士,由翰林官至工部左侍郎。博综群书,尤精算学,推步律吕,俱臻微妙。著九章算术细草图说九卷,附海岛算经一卷,共十卷。

其自序重差图云:“图九,望远,海岛旧有图解,馀八图今所补也。同式形两两相比,所作四率,二三率相乘,与一四率相乘同积。如欲作图明之,第取一三率联为一边,又取二四率联为一边,作相乘长方图之,自然分为四幂。又以斜弦界为同式句股形各二,则形势验矣。旧图于形外别作同积二方,至两形相去辽远者,又必宛转通之,皆可不必也。图中以四边形、五边形立说,似与句股不类,然于本形外补作句股形,则亦句股也。四率比例法,在九章粟米谓之今有,一为所有率,二为所求率,三为所有数,四为所求数,在句股则统目之为率。刘氏注云:’句率股率,见句见股者是也。’今祗云同式相比者,取省易耳,异乘同除则一也。”书甫写定,潢即病。俟吴门沈钦裴算校,方可付梓。越八年,其甥程矞采家为之校刊,以成其志。

九章初经东原戴氏从永乐大典中录出,一刻于曲阜孔氏,再刻于常熟屈氏,悉依戴氏原校本刊刻。其时古籍甫显,校订较难,不无间有扞格,自是天下之习九章者,莫不家★L3一编,奉为圭臬。而刘徽九章亦从此有善本矣。潢又尝因古算经十书中,九章之外最著者,莫如王孝通之辑古。唐制开科取士,独辑古四条限以三年,诚以是书隐奥难通。世所传之长塘鲍氏、曲阜孔氏、罗江李氏各刻本,又悉依汲古阁毛影宋本,祗有原术文而未详其法,且复传写脱误。虽经阳城张氏以天元一术推演细草,但天元一术创自宋、元时人,究在王氏后,似非此书本旨。爰本九章古义,为之校正,凡其误者纠之,阙者补之,著考注二卷。以明斜袤广狭割截附带分并虚实之原,务如其术乃止。稿未成,潢殁后,为南丰刘衡授其乡人,以西士开方法增补算草,并附图解,刻于江西省中,喧宾夺主,殊乱其真。矞采取江西刻本削去图草,仍以原考注刊布。

武进李兆洛为之序,曰:“辑古何为而作也?盖阐少广、商功之蕴而加精焉者也。商功之法,广袤相乘,又以高若深乘之为立积,今转以积与差求广袤高深,所求之数,最小数也。曷为以最小数为所求数?曰,求大数,则实方廉隅,正负杂糅。求小数,则实常为负,方廉隅常为正也。观台羡道,筑堤穿河,方仓圆囤,刍甍输粟,其形不一,概以从开立方除之何也?曰,一以贯之之理也。物生而后有像,象而后有滋,滋而后有数。斜解立方,得两巉堵,一为阳马,一为鳖臑。阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。今于平地之馀续狭斜之法,无论为巉堵、为阳马、为鳖臑,皆作立积。观其立积内不以所求数乘者为减积,以所求数一乘者为方法,再乘者为廉法,所求数再自乘为立方,即隅法也。从开立方除之,得所求数。若绘图于纸,令广袤相乘,以所求数从横截之。剖平幂为若干段,又以截高与所求数乘之。分立积为若干段,若者为减积,若者为方,若者为廉,若者为隅,条段分明,历历可指。作者之意,不烦言而解矣。其云廉母自乘为方母,廉母乘方母为实母者之分,开方之要术也。先生于是书立法之根,如锯解木,如锥划地,又复补正脱误,条理秩然,信王氏之功臣矣!爰述大旨,以告世之习是书者,无复苦其难读云。”

汪莱,字孝婴,号衡斋,歙县人。年十五,补博士弟子。弱冠后,读书于吴葑门外,慕其乡江文学永、戴庶常震、金殿撰榜、程征君易畴学,力通经史百家及推步历算之术。嘉庆十二年,以优贡生入都,考取八旗官学教习,会御史徐国楠奏请续修天文、时宪二志,经大学士首举莱与徐准宜、许沄入馆纂修。十四年,书成。议叙,以本班教职用,选授石埭县训导。十八年,应省试,得疾归,卒于官,年四十有六。先是十一年夏,黄河启放王营减坝,正溜直注张家河,会六塘河归海。两江督臣奉上命,查量云梯关外旧海口与六塘河新海口地势高下,延莱测算,盖其精算之名,久为官卿所知。曾制浑天、简平、一方各仪器观测。

与郡人巴树谷最友善,客江、淮间,又与焦孝廉循、江上舍籓、李秀才锐,辩论宋秦九韶、元李冶立天元一及正、负开方诸法。天性敏绝,极能攻坚,不肯苟于著述。凡所言,皆人所未言,与夫人所不能言。

尝以古书八线之制,终于三分取一,用益实归除法求之,其一表之真数,仅得十之二。因悟得五分之一通弦与五分之三通弦交错为三角形,比例立法,以取五分之一之通弦,而弦切之数益密。梅氏环中黍尺,有以量代算之术,惟求倚平仪外周之两角,而缩于内半周之角未详。其法较易,因立新术,量取不倚外周之角度,而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆积法,不及三乘方以上,又复推而广之,自三乘、四乘以上之尖堆,皆可由根知积。并及诸物递兼之法,以补古九章所未备。

又纠正梅文穆公句股知积术,及指识天元一,正、负开方之可知、不可知。其纠正句股知积术也,文穆赤水遗珍称:“有句股积及股弦和较求句股,向无其术,苦思力索,立法四条。”其门人丁维烈又造减纵翻积开三乘方法,文穆许之。莱谓:“句股形等积、等弦和,带纵立方形等基、等高阔和,皆有两形互易。如句二十,股二十一,弦二十九,句弦和四十九,句股积二百一十。若句十二,股三十五,弦三十七,句弦积亦四十九,句股积亦二百一十。设问者暗执一形,则对者交盲两数。梅、丁诸公法成而不可用,盖两句弦较,与一句弦和,恒为连比例之三率。其两句弦较,即首、末二率;两较减一和之馀,即中率;而句弦和必为三率亻并。遂创立有两积相等、两句弦和相等、求两句股形之法。以四倍句股积自乘,句弦和除之,为带纵长立方积。以句弦和为纵,开得数为两句弦较之中率,自乘为带纵平方积。又以中率与句弦和相减为长阔和,求得长阔两根为两句股较,用求两句股形各数。又同积之边,彼此可互,三次之乘,先后可通,故四倍句股积自乘,即两形之倍句相乘为底,两形之股相乘为高,即犹以中末乘首。中化为中率,再乘为立方三率,亻并为带纵。由是推得立方形两高数恒为首末二率,高阔和恒为三率,亻并数与等积、等弦和之两弦较及弦和丝毫无异。如高九阔十,高阔和十九,立方积九百。若高四阔十五,高阔和亦十九,立方积亦九​​百,其数莫不由两形相引而出。故其法即命积为带纵长立方积,以高阔和为所带之纵。用带纵长立方法开得本方根,为两形高数之中率。与高阔和相减,馀为带纵之平方长阔和。中率自乘,为带纵平方积。用带纵平方长阔和法开之,得长阔一根,为两形之两高数。两高与和相减,为两阔数。”

其指识正、负开方也,“元李冶传洞渊九容术,撰测圆海镜、益古演段,以明天元如积相消,其究必用正、负开方,互详于宋秦九韶数学九章。梅文穆公虽指天元一为西人借根方所由来,而正、负开方则未有阐明者。元和李秀才锐特为雠校,谓少广一章,得此始贯于一。好古之士,翕然相从。莱独推其有可知、有不可知。如测圆海镜边股第五问’圜田求径二百四十步与五百七十六步共数’,而李仁卿专以二百四十为答。数学九章田域第二题’尖田求积二百四十步与八百四十步共数’,而秦道古专以八百四十为答。乃自二乘方以下,缕析推之,得九十五条。凡几根数为带纵长阔较则可知,为带纵长阔和则不可知。又推得几真数少,几根数又多,几平方与一立方积等多少杂糅,和较莫定。立法以审之,以几平方数用几立方数除之,得数乘几根数,以较几真数。若少于真数,则以几平方为高阔较,是为可知。若多于真数,则或几平方为通分法,三母总数、几真数为三母维乘之共数,几根数为通分之共子,如二、如六、如十二。设真数一百四十四,少二百八,根数多二十,平方积与一立方积相等,则三数皆同,是为不可知。”

盖以一答为可知,不止一答为不可知。故李秀才锐跋其书,括为三例以证明之。谓:“隅实同名者不可知;隅实异名,而从廉正负不杂者可知;隅实异名,而从廉正负相杂,其从翻而与隅同名者可知,否则不可知。隅实异名,即带纵之长阔较也,较仅一答;隅实同名,即带纵之长阔和也,和则不止一答。”锐以隅实同名、异名,明一答与不止一答;莱以长阔、和较,明可知、不可知,其义一也。著有衡斋算学七册,考定通艺录磬氏倨句解一册。

陈杰,字静弇,乌程诸生。考取天文生,任钦天监博士,供职时宪科兼天文科,司测量。累官国子监算学助教。道光十九年,谢病归,卒于家。生平邃于算学,尤神明于比例之用。初著辑古算经细草一卷,后十馀年,又为之指画形象,成图解三卷;又博采训诂,考正其传写之舛讹,稽合各本之同异,别成音义一卷。

其自述比例言有曰:“比例之法,昉自九章,传由西域,在古法曰异乘同除,在西法曰比例等。假如甲有钱四百,易米二斗,问乙有钱六百,易米几何?答曰三斗。法以乙钱为实,甲米乘之,得数,甲钱除之,即得。钱与米异名相乘,与钱同名相除,故谓之异乘同除,此古法也。以甲钱比甲米,若乙钱与乙米。凡言以者一率,言比者二率,言若者三率,言与者四率。二三相乘,一率除之,得四率,此西法也。古法元、明时中土几以失传,不知何时流入西域。明神宗时,西人利玛窦来中国,出其所著算书,中人矜为创获,其实所用皆古法,但异其名色耳。兹以西人名色解王氏,固取其平近,亦以名中、西之合辙也。 ”

又有论曰:“二十一史律志无不用比例者,他如九章、缉古、十种算书,多用比例,无如古人总不言比例。如缉古第二问,求均给积尺,欲以本体求又一形之体,忽取两面幂之数,一用以乘,一用以除,而得数。又第九问求员囤,第十问求员窖,忽以周径乘除,即如方亭法求之,诸数悉得。走作图解,审谛久之,而始知为比例,乃明言比例以揭之。嗣是而阅古算书者,罔弗比例矣。”

又自道光以来,尝亲在观像台督率值班天文生频年实测黄、赤大距为二十三度二十七分,未经奏明,故当时未敢用。迨甲辰岁修仪象考成续编,监臣即取此数上之,而钦定颁行焉。

晚年所撰为算法大成,上编十卷,首加、减、乘、除,次开方、句股,次比例、八线,次对数,次平三角、弧三角。门分类别,皆先列旧法,而以新法附之,图说理解,不惮反复详明,

专为引诱初学设也。下编十卷,则有目无书。其言曰:“算法之用多端,第一至要为治历,故下编言在官之事,先治历,次出师,次工程钱粮,次户口盐司,次堆积丈量;儒者则考据经传,下及商贾庶民,则赀本营运,市廛交易,持家日用,凡事无巨细,各设题为问答,以明算法之用,盖如此之广云。”下编似未成。其门人丁兆庆、张福僖均以算名。

兆庆,字宝书,归安人。沉潜好学,为项学正两边夹角迳求对角新法图说,谓其讲解明晰,戛戛独造。

福僖,字南坪,乌程诸生。精究小轮之理,著有慧星考略。

时曰淳,字清甫,嘉定人。精算术。发明古人术意,无不入微。咸丰末,与长沙丁取忠同客胡林翼幕府,每与商榷数理,见丁氏数学拾遗之百鸡术,谓与二色方程暗合。因为广衍,立二十八题,以“旧学商量加邃密、新知培养转深沉”十四字识其上下,为十四耦。诸题皆借方程为本术,并述大衍求一术以博其趣,作百鸡术衍二卷。

自序略曰:“张丘建算经鸡翁鸡母题问,甄、李两注及刘孝孙草,皆未达术意,不可通。近焦理堂所释尤误。读吾友丁君果臣数学拾遗,设术与二色方程暗合,乃通法也。骆氏艺游录用大衍求一术,以大小较求中数,取径颇巧,然遇较除共较实适尽者,则不可求。方程术则遇法除实得中数,不尽者以分母与减率相求而齐同之,无不可得。骆氏殆未知有方程本术耳。夫题祗本经一术,算理之微妙,不如孙子不知数一问,而术文各隐秘。彼则但举用数,此亦仅著加减三率,于前半段取数之法皆阙如。岂古人不传之秘,必待学者深思而自得乎?孙子求一术,至宋秦道古发之,独是题袭谬传讹,无借方程以问途者。曰淳蓄疑既久,今年春与果臣连榻鄂城,复一商榷,别后数月乃通之。怡然涣然,了无滞凝,亦穷愁中一快事也。因衍方程术为数学拾遗补,求负数法及加减率求答数法,附述求一术为艺游录补。以中小较求大数法,及大中较、大小较互求得中数、小数法,引伸钩索,温故知新,庶足以大畅厥旨乎!易翁、母、雏为大、中、小,设数不必以百,而统以百鸡命之者,识斯术所自昉也。”

李锐,字尚之,元和诸生。幼开敏,有过人之资。从书塾中检得算法统宗,心通其义,遂为九章、八线之学。因受经于钱大昕,得中、西异同之奥,于古历尤深。自三统以迄授时,悉能洞澈本原。

尝谓:“三统,世经称殷术,以元帝初元二年为纪首,是年岁在甲戌。推而上之,一千五百二十岁而岁值甲寅为元首,又上四千五百六十年而岁复甲寅为上元。以此积年,用四分上推,太初元年得至朔同日,而中馀四分日之三,朔馀九百四十分之七百五,故太初术亏四分日之三,去小馀七百五分也。《汉书》载三统而不著太初,其实一月之日,二十九日八十一分日之四十三,是日法、月法与三统同。贾逵称太初术斗二十六度三百八十五分,是统法周天又与三统同。盖四分无异于太初,而太初亦得谓之三统。郑注召诰,周公居摄五年二月三月,当为一月二月,不云正月者,盖待治定制礼,乃正言正月故也。江征君声、王光禄鸣盛以为据洛诰十二月戊辰逆推之,其说未核。今案郑君精于步算,此破二月三月为一月二月,以纬候入蔀数,推知上推下验,一一符合,不仅检勘一二年间事也。”

因据诗大明疏,郑注尚书文王受命,武王伐纣时日皆用殷历甲寅元,遂从文王得赤雀受命年起,以干凿度所载之积年推算,是年入戊午蔀,二十九年岁在戊午,与刘歆所说殷历周公六年始入戊午蔀不同。歆谓文王受命九年而崩,崩后四年武王克殷,后七年而崩,明年周公摄政元年,较郑少一年。又载召诰、洛诰俱摄政七年事,其年二月乙亥朔,三月甲辰朔,十二月戊辰朔,并与郑不合。乃以推算各年及一月二月,排比干支,分次上下,著召诰日名考,此融会古历以发明经术者也。

当是时,大昕为当代通儒第一,生平未尝亲许人,独于锐则以为胜己。大昕尝以太乙统宗宝鉴求积年术日法一万五百岁,实三百八十三万五千四十八分二十五秒为疑。锐据宋同州王湜易学,谓每年于三百六十五日二千四百四十分之外,有终于五分者,有终于六分者,有终于五六分之间者。终于五分者,五代王朴钦天历是也,以七千二百为日法。终于六分者,近年万分历是也,以一万分为日法。终于五六分之间者,景祐历法载于太乙遁甲中是也,以一万五百分为日法,此暗用授时法也。试以日法为一率,岁实为二率,授时日法一万为三率,推四率,得三百六十五万二千四百二十五分,即授时之岁实也。探本穷源,一言破的。

近世历算之学,首推吴江王氏锡阐、宣城梅氏文鼎,嗣则休宁戴氏震亦号名家。王氏谓土盘历元在唐武德年间,非开皇己未;梅氏谓回回历实用洪武甲子为元,而托之于开皇己未。其算宫分,虽以开皇己未为元,其查立成之根,则在己未元后二十四年,二说并同。

戴氏谓回回历百二十八年闰三十一日,是每岁三百六十五日之外,又馀百二十八分日之三十一也。以万万乘三十一,满百二十八而一,得二千四百二十一万八千七百五十,地谷所定岁实三百六十五日二十三刻三分四十五秒,通分内子以万万乘之,满日法而一,亦得二千四百二十一万八千七百五十,与梅氏疑问所云合。是三家所论,未尝不确知灼见,然均未得其详。锐据明史历志、回回本术,参以近年瞻礼单,精加考核,谓回回历有太阳年,彼中谓为宫分;有太阴年,彼中谓为月分。宫分有宫分之元,则开皇己未是也;月分有月分之元,则唐武德壬午是也。自开皇己未至洪武甲子,积宫分年七百八十六,自武德壬午至洪武甲子,积月分年亦七百八十六,其惑人者即此两积年相等耳,因着回回历元考。有求宫分白羊一日入月分截元后积年月日法,以为不明乎此,虽有立成,不能入算也。稿佚未刊。

梅氏未见古九章,其所著方程论,率皆以臆创补,然又囿于西学,致悖直除之旨。锐寻究古义,探索本根,变通简捷,以旧术列于前,别立新术附于后,著方程新术草,以期古法共明于世。古无天元一术,其始见于元李冶测圆海镜、益古演段二书,元郭守敬用之,以造授时历草,而明学士顾应祥不解其旨,妄删细草,遂致是法失传。自梅文穆悟其即西法之借根方,于是李书乃得郑重于世。其有原术不通,别设新术数则,更于梅说外辨得天元之相消,有减无加,与借根方之两边加减法少有不同。

且不满顾氏所著之句股、弧矢两算术,谓:“弧矢肇于九章方田,北宋沈括以两矢幂求弧背,元李冶用三乘方取矢度,引伸触类,厥法綦详。顾氏如积未明,开方徒衍,不亦傎乎?”爰取弧矢十三术,入以天元,著弧矢算术细草。并仿演段例,括句股和较六十馀术,著句股算术细草,以导习天元者之先路。

又从同里顾千里处得秦九韶数学九章,见其亦有天元一之名,而其术则置奇于右上,定于右下,立天元一于左上。先以右上除右下,所得商数与左上相生,入于左下。依次上下相生,至右上末后奇一而止,乃验左上所得以为乘率。与李书立天元一于太极上,如积求之,得寄左数与同数相消之法不同。因知秦书乃大衍求一中之又一天元,秦与李虽同时,而宋元则南北隔绝,两家之术,无缘流通,盖各有所授也。

锐尝谓:“四时成岁,首载虞书,五纪明历,见于洪范。历学诚致治之要,为政之本。乃通典、通考置而不录,邢云路虽撰古今律历考,然徒援经史,以侈卷帙之多。梅氏祗有欲撰历法通考之议,卒未成书。因更网罗诸史,由黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六历,下逮元、明数十馀家,一一阐明义蕴,存者表而章之,缺者考而订之,著为司天通志,俾读史者启其扃,治历者益其智。”惜仅成四分、三统、乾象、奉天、占天五术注而已。馀与开方说皆属稿未全。

开方说三卷,锐读秦氏书,见其于超步、退商、正负、加减、借一为隅诸法,颇得古九章少广之遗,较梅氏少广拾遗之无方廉者,不可以道里计。盖梅氏本于同文算指、西镜录二书,究出自西法,初不知立方以上无不带从之方。锐因秦法推广详明,以著其说。甫及上、中二卷而卒,年四十有五。其下卷则弟子黎应南续成之。

应南,字见山,号斗一,广东顺德人。嘉庆戊寅顺天经魁,以书馆议叙,选浙江丽水县知县,调平阳县知县。海疆俸满,加六品衔,卒于官。

骆腾凤,字鸣冈,山阳人。嘉庆六年举人,道光六年,大挑一等,用知县。以母老不原仕,改授舒城县训导。未一年,告养归,教授里中,学徒甚众。二十二年八月,卒于家,年七十有二。性敏锐,好读书,尤精畴人术。在都中从钟祥李潢学,研精覃思,寒暑靡间。

著开方释例四卷,自序略谓:“天元一术,见宋秦九韶大衍数中,不言创于何人。元李冶测圆海镜、益古演段二书,亦用此例。冶称其术出于洞渊九容,今不可详所自矣。是书自平方以至多乘,悉用一术,即刍童、羡馀诸形,亦可握觚而得,洵算术之秘钥也。西法借根方实原于此,乃以多少代正负,徒欲掩其袭取之迹。不知正负以别异同,多少以分盈朒,毫厘千里,必有能辨之者。”

又著游艺录二卷,自识云:“馀于正、负开方之例,既为释例以明其法矣。至于衰分方程、句股等法,以及九章所未载,与夫古今算术之未能该洽者,辄为溯其源,正其误。不敢掠前哲之美以为名,亦不为黯黮之词以欺世也。随所见而识之,汇为一编。”遗稿凡十馀万言,即今传本也。

南汇张文虎尝与青浦熊户部其光书论之曰:“承示骆司训算书二种,读竟奉缴。李四香开方说,详于超步、商除、翻积、益积诸例,而不言立法之根,令初学者茫不解其所谓。骆氏于诸乘方、方廉、和较、加减之理,皆质言之,而推求各元进退、定商诸术,尤足补李书所未备,诚学开方者之金锁匙。汪孝婴创设两句股同积同句股和一问,以两句弦较中率转求两句弦较,立术迂回。骆氏以正、负开方径求得两句,颇为简易。衡斋亦当首肯也。”其为人所推服如此。

项名达,字梅侣,仁和人。嘉庆二十一年举人,考授国子监学正。道光六年,成进士,改官知县,不就,退而专攻算学。三十年,卒于家,年六十有二。著述甚富,今传世者,但有下学庵句股六术及图解,复附句股形边角相求法三十二题,合为一卷。以句股和较相求​​诸题术稍繁难,爰取旧术稍为变通。分术为六,使题之相同者通为一术,釐然悉有以御之。第一、二、三术及第四术之前二题,悉本旧解,馀为更定新术,皆别注捷法,各为图解,以明其意。第四、五、六术其原皆出于第三术,可释之以比例。第三术以句弦较比股,若股与句弦和,以股弦较比句,若句与股弦和,是为三率连比例。凡有比例加减之,其和较亦可互相比例。故第四、五、六术诸题,皆可由第三术之题加减而得,即可因第三术之比例而另生比例。因比例以成同积,而诸术开方之所以然遂明。名达又创有弧三角总较术,求椭员弧线术,术定,未有诠释,以义奥趣幽,难猝竟事,故六术独先成云。

名达与乌程陈杰、钱塘戴煦契最深,晚年诣益精进,谓古法无用,不甚涉猎,而专意于平弧三角,与杰意不谋而合。与杰论平三角,名达曰:“平三角二边夹一角,迳求斜角对边,向无其法,窃尝拟而得之,君闻之乎?”杰曰:“未也。 ”录其法以归。盖以甲乙边自乘与甲丙边自乘相加,得数寄左;乃以半径为一率,甲角馀弦为二率,甲乙、甲丙两边相乘倍之为三率,求得四率,与寄左数相减,钝角则相加,平方开之,得数即乙丙边。

又尝谓泰西杜德美之割圜九术,理精法妙,其原本于三角堆,董方立定四术以明之,洵为卓见。惟求倍分弧,有奇无偶,徐有壬补之,庶几详备。名达尝玩三角堆,叹其数祗一递加,而理法像数,包蕴无穷,夫方圜之率不相通,通方圜者必以尖,句股,尖像也;三角堆,尖数也。古法用半径屡求句股得圜周,不胜其繁。杜氏则以三角堆御连比例诸率,而弧弦可以互通,割圜术蔑以加矣。然以此制八线全表,每求一数,必乘除两次,所用弧线,位多而乘不便,董、徐二氏大、小弧相求法亦然。向思别立简易法,因从三角堆整数中推出零数,但用半径,即可任求几度分秒之正馀弦,不烦取资于弧线及他弧弦矢。且每一乘除,便得一数,似可为制表之一助。

又著像数原始一书,未竟,疾革时,嘱戴煦。后煦索稿于名达子锦标,校算增订六阅月而稿始定,都为七卷。原书之四,仅六纸,并第七卷皆煦所补也。卷一曰整分起度弦矢率论,卷二曰半分起度弦矢率论,卷三、卷四曰零分起度弦矢率论,皆以两等边三角形明其像,递加法定其数,末乃申论其算法。卷五曰诸术通诠,取新立弧弦矢求他弧弦矢二术、半径求弦矢二术及杜、董诸术,按术诠释之。卷六曰诸术明变,杂列所定弦矢求八线术,开诸乘方捷术,算律管新术,椭员求周术,以明皆从递加数转变而得。卷七曰椭员求周图解,原术以袤为径,求大员周及周较,相减而得周,补术则以广为径,求小员周,周较相加而得周,末系以图解。徐有壬巡抚江苏,邮书索煦写定本梓行,刻甫就而有壬殉难,书与板皆毁焉。

有王大有者,字吉甫,仁和诸生。翰林院待诏。穷究天算,问业于处士戴煦。凡煦所著述,皆录副本去,名达见之,因与煦订交。大有尝校割圜捷术合编。后殉于杭州。

丁取忠,字果臣,长沙人。研究像数,不求闻达,刻算书二十有一种,为白芙堂丛书。光绪初,卒于家,年逾七十。所自撰者为数学拾遗一卷,以所演算草较详,可便初学,又意在拾遗,故未暇详其义之出自何人。

又撰粟布演草二卷,自序曰:“道光壬辰,馀始习算,友人罗寅交学博洪宾以难题见询,久无以应。同治初元,始获交南丰吴君子登太史,驭以开屡乘方法,馀始通其术,然未悉其立法之根也。后吴君游岭表,馀推之他题,及展转相求,仍多窒碍。又函询李君壬叔,蒙示以廉法表及求总率二术,而其理始显。后吴君又示以指数表及开方式表,李君复为之图解以阐其义。由是三事互求,理归一贯。馀因取数题详为演草,并捷法图解,都为一卷。质之南海邹君特夫,君复为增订开屡乘方法,并另设题演草,补所未备。即算家至精之理,如圜内容各等边形,皆可藉发商生息以明之,诚快事也!”

后又撰演草补一篇,序云:“馀前年与左君壬叟共辑粟布演草,原为商贾之习算者设,或一例而演数题,或一题而更数式。或用真数,或用代数。其式或横列,或直下,杂然并陈,无非欲学者比类参观,易于领悟也。乃初学习之,犹谓茫无入门处,盖商贾所习算书,大都详于文而略于式。况代数又古算术所无,宜其卒然览之而不解也。兹更拟一题附后,特仿数理精蕴借根方体例,专详于文,庶初学读之,可因文知义。算理既明,则全书各式,可涣然冰释,或兼可为习代数者之先导乎?”其乡人李锡蕃,亦以演算名。

锡蕃,字晋夫。道光三十年早卒,著有借根方句股细草一卷,衍为二十有五术,取忠刊入丛书。

谢家禾,字和甫,钱塘举人。与同学戴氏兄弟熙、煦相友善。少嗜西学,点线面体四部,靡不淹贯。已,复取元初诸家算书,幽探冥索,悉其秘奥。乃辑平时所得析通分加减,定方程正负,以标举立元大耍,撰演元耍义一卷。其自序云:“元学至精且邃,而求其要领,无过通分加减,凡四元之分正负,及相消法,互隐通分法,大致原于方程。方程者,即通分之义。方程不明,由于正负无定例,加减无定行,以讹传讹,如梅宣城精研数理,未暇深究,他书可知矣。九章算经正负术甚明,而释者反以意度,古谊之不明,可胜道哉!唯以衍元之法正方程之义,由是方程明而元学亦明。著演元要义,综通分方程而论列之,附以连枝同体之分等法。通乎此,则四元庶可窥其涯涘耳。”

又以刘徽、祖冲之之率求弧田,求其密于古率者,撰弧田问率一卷。同里戴煦为之序曰:“古率径一周三,徽率刘徽所定,径五十周一百五十七也。密率乃祖冲之简率,径七周二十二也。诸书弧田术皆用古率,郭太史以二至相距四十八度,求矢亦用古法。顾徽、密二率之周既盈于古,则积亦盈于古,试设同径之圆,旁割四弧,其中两弦相得之方三率皆同,知三率圆积之盈缩,正三率弧积之盈缩也。徽、密二率弧田古无其术,惟四元玉鉴一睹其名,而设问隐晦,莫可端倪。谷堂得其旨,因依李尚之孤矢算术细草设问立术,亦足发前人所未发也。”

又以直横与句股弦和较展转相求,撰直积回求一卷,其自序云:“始戴谔士著句股和较集成,予亦著直积与和较求句股弦之书,然二书为义尚浅,且直积与句弦和求三事,用立方三乘方等,得数不易,而又不足以为率,其书遂不存。近见四元玉鉴直积与和较回求之法,多立二元,尝与谔士思其义蕴,有不必用二元者。盖以句弦较与句弦和相乘为股幂,股弦和与股弦较相乘为句幂,而直积自乘,即句幂股幂相乘也。如以句弦较乘股弦较幂,除直积幂,即为句弦和乘股弦和幂矣。句弦和乘股弦和幂,即弦幂和幂共内少半个黄方幂也。盖相乘幂内去一弦幂,所馀为句股相乘者一,句弦相乘者一,股弦相乘者一,此三幂合成和幂,则少一半黄方幂。半黄方幂,即句弦较股弦较相乘幂也。加一半黄方幂,即为弦幂和幂共矣。加二直积,即二和幂也。减六直积,即二较幂也。又句弦和乘股弦较幂,为句幂内少个句股较乘股弦较幂也。股弦和乘句弦较幂,为股幂内多个句股较乘句弦较幂也。减一句股较乘股弦较幂,尚馀一句股较幂矣。术中精意,皆出于此。其他之参用常法者,可不解而自明耳。草中既未暇论,恐习者不知其理,因揭其大旨于简端,见演段之不可不精也。”

家禾殁后,戴熙搜遗稿,嘱其弟煦校雠而授诸梓。煦精​​算,见忠义传。著有补重差图说,句股和较集成消法简易图解,对数简法,外切密率,假数测圆,及船机图说等。

吴嘉善,字子登,南丰人。咸丰十一年进士,改翰林院庶吉士,散馆授编修。与徐有壬同治算学。同治改元,避粤匪乱游长沙,识丁取忠。逾年,客广州,因邹伯奇又识钱塘夏鸾翔。三人志同道合,相得益彰。光绪五年,奉使法兰西,驻巴黎。后受代还,旋卒。

所撰算书,首述笔算。次九章翼,曰今有术,曰分法,曰开方,曰平方平员各术。推演方田者,曰立方立员术,推演商功者,曰句股,曰衰分术,曰盈不足术,曰方程术。于句股术后,次附平三角、弧三角测量高远之术。又次则专述天元四元之书,为天元一术释例,为名式释例,为天元一草,为天元问答,为方程天元合释,为四元名式释例并草,为四元浅释。自序曰:“算学至今日,可谓盛矣。古义既彰,新法日出,前此所未有也。馀与丁君果臣皆癖此,既忘其癖,更欲以癖导人。尝苦近世津逮初学之书无善本,梅文穆公所删之算法统宗,今亦不传。因商榷述此,取其浅近易晓,以为升高行远之助云。”

罗士琳,字茗香,甘泉人。以监生循例贡太学,尝考取天文生。咸丰元年,恩诏征举孝廉方正之士,郡县交荐,以老病辞。三年春,粤匪陷扬州,死之,年垂七十矣。少治经,从其舅江都秦太史恩复受举业,已乃弃去,专力步算,博览畴人书,日夕研求数年。

初精西法,自撰言历法者曰宪法一隅。又思句股、少广相表里,而方田与商功无异,差分与均输不殊。按类相从,摘九章中之切于日用者,悉以比例驭之,汇为十二种。以各定率冠首,以藉根方继后,以诸乘方开法附末,凡四卷,曰比例汇通,虽悔其少作,实便初学问途。

后见四元玉鉴,服膺叹绝,遂壹意专精四元之术。士琳博文强识,兼综百家,于古今算法尤具神解,以朱氏此书实集算学大成,思通行发明,乃殚精一纪,步为全草,并有原书于率不通及步算传写之讹,悉为标出,补漏正误,反复设例,申明疑义,推演订证。就原书三卷二十有四门,广为二十四卷,门各补草。

尝为提要钩元之论,谓:“是书通体弗出九章范围,不独商功修筑、句股测望、方程正负已也。如端匹互隐、廪粟回求寓粟布,如意混和寓借衰,茭草形段、果垛叠藏,如像招数寓商功中之差分,直段求源、混积问元、明积演段、拨换截田、锁套吞容寓方田、少广诸法。他若分索隐之为约分命分,方员交错、三率究员、箭积交参之为定率兼交互。至于或问歌彖、杂范类会,以其各自为法,不能比类。故一则寄诸歌词,一则编成杂法,均似补遗。大旨皆以加、减、乘、除、开方、带分六例为问,每门必备此例,略简易而详繁难,尤于自来算书所无者,必设二问以明之。如混积问元中既设种金田及句三股四八角田为问。拨换截田中复设半种金田,锁套吞容中复设方五斜七八角田为问。又果垛叠藏两设员锥垛,杂范类会既设徽率割员,又设密率割员是矣。更有一门专明一义者,如和分索隐之分开方,三率究员两仪合辙之反复互求是矣。是书但云如积求之,如积有用定率为同数相消者,有如问加减乘除得积为同数相消者。祖序谓:’平水刘汝谐撰如积释锁,惜今​​不传。’意者其释此例欤?”

道光中,得朱氏算学启蒙于京师厂肆,士琳复加斠诠刊布之。此书总二十门,凡二百五十九问,其名术义例多与玉鉴相表里。士琳为之互斠,始于天元,终于四元,义主精邃,所得甚深。考大德四年莫若序,计后此书四年。此书首列乘除布算诸例,始于超径等接之术,终于天元如积开方,由浅近以至通变,循序渐进,其理易知。名曰启蒙,实则为玉鉴立术之根,此一证也。玉鉴原本十行,行十九字,“今有”低一格,“术曰”又​​低二格,与此书同,此二证也。玉鉴斗斛之“斗”别作“”,此假借字,本汉书平帝纪及管子乘马篇,尚杂见于唐以前之孙子、五曹、张丘建诸算经,钧石之“石”,说文本作“柘”,玉鉴作“硕”,“硕”“石”古虽互通,然假“硕”为“石”,则仅见于毛诗甫田疏引汉书食货志,而算书罕见,又玉鉴田之“”,虽见李籍九章音义,为字书所无,此书并同,此三证也。玉鉴虽亦三卷,而门则为二十四,问则二百八十八,较多此书四门二十九问,然以四字分类,其体裁同。且如商功、修筑、方程、正负之属,则又二书互见,此四证也。玉鉴如意混和第一问,据数知一秤为十五斤,适与此书之斤秤起率合,此五证也。玉鉴锁套吞容第九问,方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十诸问,有小平小长,皆向无其术。此书卷首明乘除段,即载平除长为小长,长除平为小平之例。其田亩形段第十五问,复载方五斜七八角田求积通术,此六证也。他如玉鉴或问歌彖第四问,与此书盈不足术第七问,又玉鉴果垛叠藏第十四问,与此书堆积还原第十四问,又玉鉴方程正负第四问,与此书方程正负第五问,题皆约略相同,此七证也。知系朱氏原书佚而复出,并其算法一则,亦为附列,间有鱼豕,悉仍其旧,但各标识于误字旁,别记刊误于卷末。

又尝以乾隆间明氏捷法校得八线对数表,一度十三分二十秒正切第五字“0”误“一”;又六度四十一分十秒正切第五字“ 0”误“六”;又十二度五十分正弦第六字“七”误“五”;又十六度三十二分十秒正切第七字“九”误“0”;又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误“四”。可见西人所能,中人亦能之。

又因会通四元玉鉴如像招数一门,更取明氏捷法,御以天元,知密率亦可招差,其弧与弦矢互求之法,与授时历之垛积招差一一符合。且以祖氏缀术失传,其法廑见于秦书,即大衍之连环求等递减递加,亦与明氏捷法相近。爰融会诸家法意,撰缀术辑补二卷。

又甄录古今畴人,仍阮氏体例为列传,采前传所未收者,得补遗十二人,附见五人,续补二十人,附见七人,合共四十有四人,次于前传四十六卷之后。

集所校著都为观我生室汇十二种。如四元玉鉴细草二十四卷,释例二卷,校正算学启蒙三卷,校正割圜密率捷法四卷,续畴人传六卷,皆别有单行本。

外已刻者尚得七种,曰句股容三事拾遗三卷,附例一卷,本绘亭监副博启法补其遗,取内容方边员径垂线交互相求,一以天元驭之。曰三角和较算例一卷,取斜平三角形中两边夹一角术镕入天元法,用和较推演成式。曰演元九式一卷,括玉鉴中进退消长诸例,借无数之数,以正负开方式入之。曰台锥积演一卷,以玉鉴茭草、果垛二门可补少广之阙,爰取台锥形段引而伸之。曰周无专鼎铭考一卷,以四分周术佐以三统汉术,推得宣王十有六年九月既望甲戌,与铭辞正合。曰弧矢算术补一卷,以元和李四香原术未备,为增补二十七术,合成四十术。曰推算日食增广新术一卷,推广正升斜升横升之算法,以求太阴随地随时之明魄方向分秒,复推其术,以求交食限内之方向,及所经历之诸边分。

馀若春秋朔闰异同考、缀术辑补交食图说举隅、句股截积和较算例、淮南天文训存疑、博能丛话,凡若干卷,未有刻本。其同县友有易之瀚者,亦以算名。

易之瀚,字浩川。知士琳有四元玉鉴补草,因从问难,为撰四元释例一卷。凡开方例二十九则,天元例十一则,四元例十三则。

顾观光,字尚之,金山人。太学生,三试不售,遂无志科举,承世业为医。乡钱氏多藏书,恒假读之。博通经、传、史、子、百家,尤究极天文历算,因端竟委,能抉其所以然,而摘其不尽然。时复蹈瑕抵隙,蒐补其未备。如据周髀“笠以写天,青黄丹黑”之文及后文“凡为此图”云云,而悟篇中周径里数皆为绘图而设。天本浑员,以视法变为平员,则不得不以北极为心,而内外衡以次环之,皆为藉象,而非真以平员测天也。

开元占经鲁历积年之算不合,因用演积术,推其上元庚子至开元二年岁积,知占经少三千六十年。又以占经颛顼历岁积考之史记秦始皇本纪,知其术虽起立春,而以小雪距朔之日为断。盖秦以十月为岁首,闰在岁终,故小雪必在十月,昔人未及言也。李尚之用何承天调日法考古历日法朔馀强弱不合者十六家,以为未能推算入微。爰别立术,以日法朔馀展转相减,以得强弱之数。但使日法在百万以上皆可求,惟朔馀过于强率者不可算耳。授时术以平定立三差求太阳盈缩,梅氏详说未明其故。读明志乃知即三色方程之法。谓凡两数升降有差,彼此递减,必得一齐同之数。引而伸之,即诸乘差,则八线、对数、小轮、椭员诸术,皆可共贯。读占经所载瞿昙悉达九执术,知回回、太西历法皆源于此。其所谓高月者即月孛,月藏者即月引数,日藏者即日引数,特称名不同,亦犹回历称岁实为宫日数,朔策为月分日数也。

其论婺源江氏冬至权度,推刘宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太阳实经度,而后求两心差,乃专用壬戌。今用丁未求得两心差,适与江氏古大今小之说相反。盖偏取一端,其根误在高冲行太疾也。西法用实朔距纬求食甚两心实相距,术繁而得数未确。改以前后两设时求食甚实引径得两心实相距,不必更资实朔,较本法为简而密矣。

西人割圜,止知内容各等边之半为正弦,而不知外切各等边之半为正切。乃依六宗、三要、二简诸术,别立求外切各等边之正切法,以补其缺。杜德美求员周术,用员内容六边形起算,巧而降位稍迟,谓内容十等边之一边,即理分中末线之大分,距周较近。且十边形之边与周同数,不过递进一位,而大分与全分相减即得小分,则连比例各率,可以较数取之。入算尤简易,可用弧度入算,不用弧背真数。然犹虑其难记,仍不能无藉于表,因又合两法用之,则术愈简,而弧线、直线相求之理始尽。钱塘项氏割圜捷术,止有弦矢求馀线术,以为可通之割、切二线,因补其术。西人求对数,以正数屡次开方,对数屡次折半,立术繁重。李氏探原以尖锥发其覆,捷矣,而布算术犹繁。且所得者皆前后两数之较,可以造表而不可径求。戴氏简法及西人数学启蒙,又有新术,而未穷其理。乃变通以求二至九之八对数,因任意设数,立六术以御之,得数皆合。复立还原四术,并推衍为和较相求八术,为自来言对数者所未有也。又谓对数之用,莫便于八线,而西人未言其立表之根,因冥思力索,仍用诸乘方差,迎刃而解,尤晚岁造微之诣也。其它凡近时新译西术,如代数、微分、诸重学,皆有所纠正,类此。

所著曰算剩初、续编凡二卷。曰九数存古,依九章分为九卷,而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢诸术附焉,皆采古书而分门隶之。曰九数外录,则隐括四术为对数、割圜、八线、平三角、弧三角各等面体、员锥三曲线、静重学、动重学、流质重学、天重学,凡记十篇。曰六历通考,则据占经所纪黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁积年而加以考证。曰九执历解,曰回回历解,皆就原法疏通证明之。曰推步简法,曰新历推步简法,曰五星简法,则就原术改度为百分,省迂回而归简易,盖于学实事求是,无门户异同之见,故析理甚精,而谈算为最云。其友人韩应陛,亦​​以表章算书显。

应陛,字对虞,娄县人。道光二十四年举人,官内阁中书舍人。少好读周、秦诸子,为文古质简奥,非时俗所尚。既而从同里姚椿游,得望溪、惜抱相传古文义法。西人所创点、线、面、体之学,为几何原本,凡十五卷,明万历间利译止前六卷。咸丰初,英人伟烈亚力续译后九卷,海宁李壬叔写而传之。应陛反复审订,授之剞劂,亚力以为泰西旧本弗及也。外若新译重、气、声、光诸学,应陛推极其致,往往为西人所未及云。

左潜,字壬叔,大学士宗棠从子。补县学生。于诗、古文辞无不深造,尤明算理。长沙丁取忠引为忘年交。早卒,士​​林惜之。所学自大衍、天元及借根方、比例诸新法,无不贯通。且能自出己意,变其式,勘其误,作为图解,往往突过先民。尝增订徐有壬割圜缀术,既成,忽悟通分捷法析分母、分子为极小数,根同者去之,凡多项通分,顷刻立就。因演数草,为通分捷法一帙。

所撰缀术补草四卷,自序曰:“自泰西杜德美创立割圜九术,以屡乘屡除通方圜之率,我朝明氏、董氏各为之说,而杜书之义,推阐靡遗。顾八线互求,尚无通术,未足以尽一圜之变,非明氏、董氏之智力,不能因法立以尽其变也。其能穷杜氏之义也,资于借根方;其不能广杜氏之法也,亦限于借根方。盖借根方即天元一之变术,究不如元术之巧变莫测也。是书祖杜宗明,又旁参以董氏之法,八线相求,各立一式,因式立法,因法入算。乡之不可立算者,今皆能驭之以法,即有不能立法布算者,而其式存,则能济法之穷;而度圜诸线,一以贯之矣。推其立式之由,所谓比例术,即明氏定半径为一率,所有为二率或三率之法也。所谓还原术,即明氏弧背求正矢,又以正矢求弧背之法也。所谓借径术,即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数,求千分全弧通弦率数诸法也。所谓商除法,又即还原术之变法。是故缀术胎于明氏,而又足以尽明氏之变。明氏之未立式者,以藉根方取两等数,其分母、分子杂糅繁重,既不可通,其多号、少号,展转互变,又不可约。试取明氏书驭之以缀术,其递降各率,顷刻可求。则是书也,其真能因法立法,别树帜于明、董之后者欤?书为徐君青先生所作,吴君子登成之,顾详于式而略于草。敬考其立法之原,不可遽得,学者难焉,潜因于暇日为补草四卷,因缀数语于简端云。”

又撰缀术释明二卷,湘乡曾纪鸿为之序,略曰:“易系云:’极其数遂定天下之象。’则综天下难定之像以归有定,莫数若矣。在昔圣神,制器尚象,利物前民,于数理必有究极精微,范围后世者,代久年湮,渐至失传。近三百年,泰西犹能推阐古法,而中国才智之士,或反率其成辙。孔子曰:’天子失官,学在四夷。’正今日数学之谓也。中国旧有弧矢算术,而未标角度八线钤表,则虽有用其理以入算者,而无表可检。则每求一数,必百倍其功,而所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表,核其立法得数之原,甚属繁难,而成表之后,一劳永逸。大至无外,细及极微,莫不以此表测之,则其用之广大可想。然得表之后,虽无事于再求,而任举一数,无从较其讹误。若仍用旧术,则非★月经旬,不能得一数,此明静庵、董方立推演杜德美弧矢捷术之所以可贵也。向来求八线者,例用六宗、三耍、二简各法,若任言一弧,必不能考其弦矢诸数。至杜氏创立屡乘屡除之法,则但有弧径,而八线均可求。董方立解杜术,先取其线之极微者,令与与弧线合,而后用连比例以推至极大。又考诸率数与尖锥理相合,故用尖锥以释弧矢,而弧矢之数理以显。明静庵解杜术,先取四分弧与十分弧之通弦直线之极大者,用连比例以推至千分、万分弧通弦之极微者,考其乘除之率数,与杜术乘除之原理合,故用缀术以释弧矢,而弧矢之数理亦出。董、明二氏,均为弧矢不祧之宗,无庸轩轾。迩百年中继起者,如戴、徐、李三氏所著书,虽自出心裁,要皆奉董、明为师资也。吾友左君壬叟,于数学尤孜孜不倦,遇有疑难,必穷力追索,务洞澈其奥窔。尝谓方员之理,乃天地自然之数,吾之宗中宗西,不必分畛域,直以为自得新法也可。曾释君青徐氏缀术,又释戴鄂士求表捷术,兹又释明静庵弧矢捷术,而一贯以天元寄分之式,于员率一道三致意焉,可谓勤矣。孰意天厄良才,壬叟竟于甲戌秋不永年而逝,凡在同人,无不叹惜!况馀与之为两世神交,安能无怆切耶!”

曾纪鸿,字栗诚,大学士国籓少子。恩赏举人。早卒。纪鸿少年好学,与兄纪泽并精算术,尤神明于西人代数术。锐思勇进,创立新法,同辈多心折焉。谓大衍求一术亦可以代数推求,依题演之,理正相通,撰对数详解五卷,始明代数之理,为不知代数者开其先路。中言对数之理,末言对数之用,明作书之本意。其于常对、讷对,辨析分明。先求得各真数之讷对,复以对数根乘之,即为常对数。级数朗然,有条不紊,虽初学循序渐进,无不可相说以解焉。

夏鸾翔,字紫笙,钱塘人。以输饷议叙,得詹事府主簿。为项梅侣入室弟子。讲究曲线诸术,洞悉员出于方之理。汇通各法,推演以尽其变,撰洞方术图解二卷,自序略曰:“自杜氏术出,而求弦矢得捷径焉。顾犹烦乘除,演算终不易,思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏,客都门,细思连比例术者,尖堆底也。尖堆底之比例,与诸乘方之比例等。以之求连比例术,必合诸乘方积而并求之。设不得诸乘方积递差之故,方积何能并求?且并求方积而欲以加减代乘除,又必得诸较自然之数而后可,诚极难矣。既而悟曰,方积之递加,加以较也。较之递生,生于三角堆也。较加较而成积,亦较加较而成较。且诸乘方积之数与诸乘尖堆之数,数异而理同。三角堆起于三角形,故屡次增乘,皆增以三角。方积起于正方形,故累次增乘,皆增以正方。三角之较数,增一根则增一较;方积之较数,增一乘则增一较,理正同也。累次相较,较必有尽,惟其有尽,乃可入算。相连诸弦矢所以愈相较而较愈均者,正此理矣。诸较之理,皆起于天元一,而生于根差。递加根一,诸乘方根差皆一。一乘之数不变,故可省乘。若增其根差,非复单一,则乘不能省。弦矢弧背之差,或一秒,或十秒,即以一秒、十秒弧线当根差,按根递求,即可尽得诸乘方之较。以较加较,即尽得所求弦矢各数矣,岂不捷哉!爰演为求弦矢术,俾求表者得以加减代乘除。并细绎立术之义,以俟精于术数者采择。”

又撰致曲术一卷,曰平员,曰椭员,曰抛物线,曰双曲线,曰摆线,曰对数曲线,曰螺线,凡七类。类皆自定新术,参差并列,法密理精。复著致曲图解一卷,谓天为大员,天之赋物,莫不以员。顾员虽一名,形乃万类。循员一匝,而曲线生焉。西人以线所生之次数分为诸类,一次式为直线;二次式有平员、椭员、抛物线、双曲线四式;三次式有八十种;四次式有五千馀种;五次以上,殆难以数计矣。今但二次式四种,溯其本源,并附解诸乘方。抛物线形虽万殊,理实一贯。诸曲线式备具于员锥体,员锥者,二次曲线之母也。椭员利用聚,抛物线利用远,双曲线利用散,其理皆出于平员。苟会其通,则制器尚象,仰观俯察,为用无穷矣。今为一一解之,其目为诸曲线始于一点终于一点第一,诸式之心第二,准线第三,规线第四,横直二径第五,兑径亦名相属二径第六,两心差第七,法线切线第八,斜规线又名曲率径第九,纵横线式第十,诸式互为比例第十一,八线第十二。

又尝立捷术以开各乘方,不论益积、翻积,通为一术,俱为坦途,可径求平方根数十位,成少广缒凿一卷。

鸾翔同治三年卒。因方积之较而悟求求弦矢之术,骎骎乎驾西人而上之,然微分所弃之常数,犹方积之方与隅也。所求之变数,犹两廉递加之较也。其术施之曲线,无所不通,鸾翔犹待逐类立术,是则不能不让西人以独步。然西法开方,自三次式以上,皆枝枝节节为之,不及中法之一贯。鸾翔又于中法外独创捷术,非西人所能望其项背云。

邹伯奇,字特夫,南海诸生。聪敏绝世,覃思声音文字度数之源。尤精天文历算,能荟萃中、西之说而贯通之,静极生明,多具神解。尝作春秋经传日月考,谓:“昔人考春秋者多矣,类以经、传日月求之,未能精确。今以时宪术上推二百四十二年之朔闰及食限,然后以经、传所书,质其合否,乃知有经误、传误及术误之分。”又谓:“尚书克殷年月,郑玄据干凿度,以入戊午蔀四十二年克殷,下至春秋,凡三百四十八年。刘歆三统术以为积四百年,近人钱塘李锐皆主其说。今以时宪术上推,且以岁星验之,始知郑是刘非。”其解孟子“由周而来,七百有馀岁”句,谓阎百诗孟子生卒年月考据大事记及通鉴纲目,以孟子致为臣而归在周赧王元年丁未,逆数至武王有天下,岁在己卯,当得八百有九年。然周共和以上年数,史迁已不能纪,可考者鲁世家耳,此为刘歆历谱所据。然将歆谱与史记比对,歆于炀公、献公等年分多所加,共计五十二。若减其所加,则歆所谓八百有九年者,实七百五十七年耳。

又谓向来注经者,于算学不尽精通,故解三礼制度多疏失,因作深衣考,以订江永之谬。作戈戟考,以指程瑶田之疏。以文选景福殿赋“阳马承阿”证古宫室阿栋之制。以体积论橹氏为量,以重心论悬磬之形,皆绘图立说,援引详明。

又尝谓群经注疏引算术未能简要,甄鸾五经算术既多疏略,王伯厚六经天文篇博引传注,亦无辨证。因即经义中有关于天文、算术,为先儒所未发,或发而未阐明者,随时录出,成学计一得二卷。

天象著甲寅恒星表、赤道星图、黄道星图各一卷,自序略曰:“甲寅春,制浑球,以考证经史恒星出没历代岁差之故。然制器必先绘图,绘图必先立表,此恒星表之所由作也。史、汉、晋、隋诸志,于恒星但言部位,至唐、宋始略有去极度数,盖旧传新图,大抵据步天歌意想为之,与天象不符。国朝康熙初,南怀仁作灵台仪象志,然后黄、赤经、纬各列为表。乾隆九年,增修仪象考成,补正缺误。道光甲辰,再加考测,为仪象考成续编,入表正座一千四百四十九星,外增一千七百九十一星,洵为明备。今逾十载,岁渐有差,故复据现时推测立表,庶绘图制器密合天行也。”

又谓:“绘地难于算天,天文可坐而推,地理必须亲历。近人不知古法,故疏舛失实。因考求地理沿革,为历代地图,以补史书地志之缺。 ”

又手摹皇舆全图,自序略曰:“地图以天度画方,至当不易。地球经纬相交皆正角,而世传舆图,至边地竟成斜方形,殊失绘图原理,其蔽在以纬度为直线也。昔尝为小总图,依浑盖仪,用半度切线,以显迹象。然州县不备,且内密外疏,容与实数不符,故复为此图。其格纬度无盈缩,而经度渐狭,相视皆为半径与馀弦之比例。横九幅,纵十一幅,合成地球滂沱四颓之形,欲使所绘之图与地相肖也。

又变西人之旧,作地球正变两面全图,其序略曰:“地形浑员,上应天度,经纬皆为员线。作图者绘浑于平,须用法调剂,方不失其形似。然视法有三,其一在员外视员,法用正弦,则经圈为椭员,纬圈为直线,其形中广旁狭,作简平仪用之。其一在员心视员,法用正切,则经圈为直线,纬圈为弧线,其形中曲旁杀,内密外疏,作日晷用之。斯二者,线无定式,量算繁难。且经纬相交,不成正角。其边际或太促褊,或太展长,以画地球,既昧方斜本形,复失修广实数,所不取也。其一在员周视员,法用半切线,经纬圈皆为平员,虽亦内密外疏,而各能自相比例,西人以此作浑盖仪,最为理精法密。今本之为地球图,分正背两面。正面以京师为中线,其背面之中,即为京师对冲之处,尊首都也。旁分二十四向,审中土与各国彼此之势,定准望也。经纬俱以十度为一格,设分率也。”

因推演其法,著测量备要四卷,分备物致用、按度考数二题。备物致用其目四:一丈量器,曰插标、曰线架、曰指南尺、曰曲尺、曰丈竹、曰竹筹、曰皮活尺、曰蕃纸簿、曰铅笔;二测望仪,曰指南分率尺、曰立望表、曰三脚架、曰矩尺、曰地平经仪、曰平水准、曰纪限仪、曰回光环、曰折照玻璃屋、曰千里镜、曰象限仪、曰秒分时辰标、曰行海时辰标、曰析分大日晷、日风雨针、曰寒暑针;三检核书,曰志书、曰地图、曰星表、曰星图、曰度算版、曰对数尺、曰八线表、曰八线对数表、曰十进对数表,曰现年行海通书、曰清蒙气差表、曰太阳纬度表、曰日晷时差表、曰句陈四游表、曰大星经纬表、曰对数较表、曰对数较差表;四画图具,曰大小幅纸、曰砚、曰墨、曰朱、曰颜色料、曰笔、曰五色铅笔、曰笔壳、曰指南分率矩尺、曰长短界尺、曰平行尺、曰分微尺、曰机翦、曰交连比例规、曰玻璃片、曰橡皮。

按度考数其目四:一明数,曰尺度考、曰亩法、曰里法、曰方向法、曰经纬里数;二步量,曰量田计积、曰步地远近、曰记方向曲折、曰认山形、曰准望所见;三测算,曰测量方向远近法、曰测地纬度法、曰论平阳大海地平界角、曰测地经度法、曰经纬方向里数互求法;四布图,曰正纸幅、曰定分率、曰缩展、曰识别设色。

又因修改对数表之根求析小术,是开极多乘方法,可径求自然对数,即讷对数,以十进对数根乘之即得十进对数,著乘方捷术三卷。

又创对数尺,盖因西人对数表而变通其用,画数于两尺,相并而伸缩之,使原有两数相对,而今有数即对所求数。一曰形制,二曰界画,三曰致用,四曰诸善,五曰图式,为记一卷。

又尝撰格术补一卷,同郡陈澧序之,略曰:“格术补者,古算家有格术,久亡,而吾友邹征君特夫补之也。格术之名,见梦溪笔谈,其说云:’阳燧照物,迫之则正,渐远则无所见,过此则倒,中间有碍故也。如人摇舻,臬为之碍,本末相格,算家谓之格术。’又云:’阳燧面洼,向日照之,则光聚向内,离镜一二寸,聚为一点,著物火发。’笔谈之说,皆格术之根源也。宋以前盖有推演为算书者,后世失传,遂无有知此术者。征君得笔谈之说,观日光之景,推求数理,穷极微眇,知西人制镜之法皆出于此。乃为书一卷,以补古算家之术。盖古所谓阳燧者,铸金以为镜也,西洋铁镜,即阳燧,玻璃为镜,亦同此理。故推阳燧之理,可以贯而通之。有此书而古算家失传之法复明,可知西人制器之法,实古算家所有,此今世之奇书也。至若古算失传,如此者当复不少,吾又因此而感慨系之矣!”

同治三年,郭嵩焘特疏荐之,坚以疾辞。曾国籓督两江日,欲以上海机器局旁设书院,延伯奇以数学教授生徒,亦未就。八年五月,卒,年五十有一。

李善兰,字壬叔,海宁人。诸生。从陈奂受经,于算术好之独深。十岁即通九章,后得测圆海镜、句股割圜记,学益进。疑割圜法非自然,精思得其理。尝谓道有一贯,艺亦然。测圆海镜每题皆有法有草,法者,本题之法也;草者,用立天元一曲折以求本题之法,乃造法之法,法之源也。算术大至躔离交食,细至米盐琐碎,其法至繁,以立天元一演之,莫不能得其法。故立天元一者,算学中之一贯也。并时明算如钱塘戴煦,南汇张文虎,乌程徐有壬、汪曰桢,归安张福僖,皆相友善。咸丰初,客上海,识英吉利伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣三人,伟烈亚力精天算,通华言。善兰以欧几里几何原本十三卷、续二卷,明时译得六卷,因与伟烈亚力同译后九卷,西士精通几何者鲜,其第十卷尤玄奥,未易解,讹夺甚多,善兰笔受时,辄以意匡补。译成,伟烈亚力叹曰:“西士他日欲得善本,当求诸中国也!”

伟烈亚力又言美国天算名家罗密士尝取代数、微分、积分合为一书,分款设题,较若列眉,复与善兰同译之,名曰代微积拾级十八卷。代数变天元、四元,别为新法,微分、积分二术,又藉径于代数,实中土未有之奇秘。善兰随体剖析自然,得力于海镜为多。

粤匪陷吴、越,依曾国籓军中。同治七年,用巡抚郭嵩焘荐,征入同文馆,充算学总教习、总理衙门章京,授户部郎中、三品卿衔。课同文馆生以海镜,而以代数演之,合中、西为一法,成就甚众。光绪十年,卒于官,年垂七十。

善兰聪强绝人,其于算,能执理之至简,驭数至繁,故衍之无不可通之数,抉之即无不可穷之理。所著则古昔斋算学,详艺文志。世谓梅文鼎悟借根之出天元,善兰能变四元而为代数,盖梅氏后一人云。

华衡芳,字若汀,金匮人。能文善算,著有行素轩算学行世。其笔谈一书,犹为生平精力所聚。凡十二卷,第一卷论加、减、乘、除之理;第二卷论通分之理;第三卷论十分数;第四卷论开方之理;第五卷论看题、驭题之法,以明加、减、乘、除、通分、开方之用;第六卷论天元及天元开方;第七卷论方程之术,已寓四元之意,末乃专论四元;第八卷论代数释号及等式;第九卷论代数中助变之数及虚代之法;第十卷论微分;第十一卷论积分,分十六款以明之;第十二卷一论各种算学不外乎加、减、乘、除,二论一切算稿宜笔之于书,三论算学中可以著书之事,四论学算与着书并非两事,五论翻算学之书,六论畴人传当再续。综计自加、减、乘、除、通分以至微分、积分,由浅入深,术本繁难,而括之以简易之旨;理本艰深,而写之以浅显之词。

又于同治十三年,与英士傅兰雅共译代数术二十五卷,衡芳序之曰:“代数之术,其已知、未知之数,皆代之以字,而乘、除、加、减各有记号,以为区别,可如题之曲折以相赴。迨夫层累已明,阶级已见,乃以所代之数入之,而所求之数出焉。故可以省算学之工,而心亦较逸,以其可不假思索而得也。虽然,代数之术诚简便矣,试问工此术者,遂能不病其繁乎?则又不能也。夫人之用心,日进而不已,苟不至昏眊迷乱,必不肯终辍。故始则因繁而求简,及其既简也,必更进焉,而复遇其繁,虽迭代数十次,其能免哉?自是知代数之意,乃为数学中钩深索隐之用,非为浅近之算法设也。若米盐零杂之事,而概欲以代数施之,未有不为市侩所笑者也。至于代数、天元之异同优劣,读此书者自能知之,无待馀言也。”

又与傅兰雅共译微积溯源八卷,序之曰:“吾以为古时之算法,惟有加、减而已。其乘与除乃因加减之不胜其繁,故更立二术以使之简易也。开方之法,又所以济除法之穷者也。盖学算者自有加、减、乘、除、开方五法,而一切简易浅近之数,无不可通矣。惟人之心思智虑日出不穷,往往以能人之所不能者为快,遇有窒碍难通之处,辄思立法以济其穷,故有减其所不可减,而正负之名不得不立矣;除其所不受除,而寄母通分之法又不得不立矣。代数中种种记号之法,皆出于不得已而立者也。惟每立一法,必能使繁者为简,难者为易,迟者为速,而算学之境界,借此得更进一层。如是屡进不已,而所立之法,于是乎日多矣。微分、积分者,盖又因乘、除、开方之不胜其繁,且有窒碍难通之处,故更立此二术以济其穷,又使简易而速者也。试观圜径求周、真数求对数之事,虽无微分、积分之时,亦未尝不可求,惟须乘、除、开方数十百次,其难有不可言喻者。不如用微积之法,理明而数捷也。然则谓加、减、乘、除、代数之外,更有二术焉,一曰微分,一曰积分可也。其积分犹微分之还原,犹之开方为自乘之还原,除法为乘法之还原,减法为加法之还原也。然加与乘,其原无不可还,而微分之原,有可还有不可还者,是犹算式中有不可还原之方耳,又何怪焉!如必曰加减乘除开方已足供吾之用,何必更求其精?是舍舟车之便利,而必欲负重远行也。其用力多而成功少,盖不待智者而辨矣。又代数术中末卷之中,载求平员周率简捷法式,为犹拉所设。未有此法之时,曾有算学士固灵用平员内容外切之多等边形,费极大工夫,算得三十六位之数。设径为一,周为三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三三八三二七九五零二八八。其临死之时,嘱其家以此数刻于墓碑,盖平时得意之作,恐其磨灭,故欲传之永久,亦犹亚基默得之墓,刻一球形与员柱形也。”

又与傅氏共译三角数理,此书为英士海麻士所撰。海麻士专精三角、八线之学,著书十有二卷,皆言三角数理,即用为名。首明三角用比例之理;次论两角或多角诸比例数;次论造八线比例表之法;次解平三角诸形;次论诸角比例乘约变化之理;纪彼国算士棣弗美创例也,附以专论对数术及诸三角形设题一百则,为书三卷,以引学者;次总说球上各圈及弧三角形之界;次解正弧斜弧三角形之法;次杂论求弧三角数种特设之表;终以弧三角形设题二十七则焉。然书中说解过于烦费,仍不能变外角和较与垂弧、次形、总较诸旧法,故自海氏书出,益觉徐有壬拾遗三术难能可贵,超越西人。

又与傅氏共译代数难题解法十六卷。

其弟世芳,字若溪。亦通算术,著有近代畴人著述记。

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